Matematické Fórum

ln x · 05. 03. 2012 11:13

Ahojte,

v prvom rade dúfam, že som si vybral správnu sekciu na tento príspevok. V druhom rade by som chcel niekoho poprosiť, či by mi neobjasnil tieto dva pojmy a síce analytické riešenie rovníc a numerické riešenie rovníc.

Potom by som sa chcel opýtať, že podľa čoho viem, kedy rovnicu musím riešiť numericky a kedy nie? O numerike som si pozrel na internete niečo, ale skôr by som chcel vedieť od niekoho skúseného ako na to.

Ďakujem vopred.

Rumburak · 05. 03. 2012 12:04

Ahoj.
Například za analytické řešení rovnice $x^2 = 2$ můžeme považovat řešení ve tvaru $x_{1,2}= \pm \sqrt{2}$ , kde využíváme funkci druhé odmocniny.
Za numerické řešení se považuje přibližné číselné řešení dosažene pomocí nějaké numerické metody, zde by se například hodila metoda tečen:

Dejme tomu, že nás zajímá pouze kladný kořen $r$ této rovnice. Využijeme skutečnosti, že funkce $f(x)=x^2$ je v oboru kladných čísel rostoucí a konvexní.
Víme jistě, že bude r < 2, protože pro x = 2 je už f(x) = 4.
Za počáteční aproximaci kořene zvolme $r_0 = 2 > r$ . Další aproximaci $r_1 \in (r, r_0)$ určíme takto: v bodě $[r_0, f(r_0)]$ ležícím na grafu funkce f
určíme tečnu k této parabole. Tato tečna protne osu x v jistém bodě [w, 0], nalezené číslo $w$ označíme $r_1$ . Tento krok teoreticky můžeme opakovat
do nekonečna, čímž by vznikla nekonečná posloupnost $(r_n)$ shora konvergující ke kořenu $r$ naší rovnice. Až bychom usoudili, že přesnost aproximace $r_n$
už vyhovuje našim potřebám, prohlásili bychom toto číslo za řešení naší rovnice - bylo by to numemerické řešení.