Matematické Fórum

night_gnome · 05. 03. 2012 11:42

Dobrý den, nevím si rady jak integrovat toto: $\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} dx$

je to blýzko vzorci: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +b}} = ln|x+\sqrt{x^{2}+b}|$
kde b je různé od nuly.

Ale jak upravit tento integral ? Je možné udělat to takto ? $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{16-y^{2}}}\cdot \int_{}^{}x dx = ln |x+\sqrt{x^{2} + 16}| \cdot \frac{x^{2}}{2}$

marnes · 05. 03. 2012 11:43

↑ night_gnome:
já bych zkusil substituci $16-x^{2}=t$

night_gnome · 05. 03. 2012 12:06

↑ marnes: přes substituci jsem vcelku nešikovná, ten postup nahoře nemůže být ?

marnes · 05. 03. 2012 12:09

↑ night_gnome:
Možná jo, já to nepočítal a vzorce neznám. Myslel jsem si, že chceš znát postup a umět integrál vypočítat, ne si ho pamatovat:-( V tom ti potom neporadím. Snad někdo jiný.

Cheop · 05. 03. 2012 12:13 — Editoval Cheop (05. 03. 2012 12:41)

↑ night_gnome:
To opravdu být nemůže, když svůj výsledek zderivuješ:
Tady
nedostaneš ten tvůj původní integrál
Výpočet:
$\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} dx$
Substituce
$16-x^2=t\\-2x\,dx=dt\\dx=-\frac{dt}{2x}$
$\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} dx=-\frac 12\int\frac{x}{x\cdot\sqrt t}\,dt=\\-\frac 12\int t^{-\frac 12}\,dt=-\frac 12\cdot\frac{t^{\frac 12}}{\frac 12}=-t^{\frac 12}+C$
Vratka k substituci:
$\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} dx=-\sqrt{16-x^2}+C$

Kontrola tady

Honzc · 05. 03. 2012 12:17

↑ night_gnome:
Ještě šikovnější je substituce $16-x^{2}=t^{2}\Rightarrow x\cdot dx=-t\cdot dt$

Rumburak · 05. 03. 2012 12:18

↑ night_gnome:

Ne, to tedy nemůže. Zatímco platí vzorec

$\int (f + g) = \int f + \int g$ ,

pokud z uvedených integrálů mají smysl alespoň dva (integrační konstantu v tomto vzorci neuvádím) ,

rovnost $\int (f \cdot g) = $\int f$\cdot$\int g$$ obecně NEPLATÍ.

Je potřeba neplést to se vzozcem

$\int (Kf) = K\int f$ ,

pokud K je KONSTANTA (předpoklady ani int. konstantu neuvádím).

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2012 11:42

integrace úprava

#2 05. 03. 2012 11:43

Re: integrace úprava

#3 05. 03. 2012 12:06

Re: integrace úprava

#4 05. 03. 2012 12:09

Re: integrace úprava

#5 05. 03. 2012 12:13 — Editoval Cheop (05. 03. 2012 12:41)

Re: integrace úprava

#6 05. 03. 2012 12:17

Re: integrace úprava

#7 05. 03. 2012 12:18

Re: integrace úprava

Zápatí