Matematické Fórum

smiesek · 11. 10. 2008 18:18

Dobrý podvečer,
ač je sobota sedím nad příklady z matematiky a nevím si se 2 příklady jak pokračovat dále (jde o 3. krok $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=n%3Dk%2B1$ .
Prosím o pomoc, pokud bude mít někdo chvilku.

Zadání: dokažte dělitelnost pomocí matematické indukce

př. 1
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=6%2Fn^3%2B11n%0A$
má úvaha:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=6%2F(n%2B1)^3%2B11(k%2B1)$

př. 2
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=9%2F7^n%2B3n-1$
má úvaha:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=9%2F7^k.7^1%2B3(k%2B1)-1$

dál bohužel netuším, jak to více upravit.

Pavel · 11. 10. 2008 18:44 — Editoval Pavel (11. 10. 2008 18:45)

Jen pro přesnost, dělitelnost se značí svislou čárkou - příkaz \mid. Dokažme, že vztah platí pro $n=1$ .

$1^3+11\cdot 1=12$ , což je číslo dělitelné 6.

Předpokládejme, že vztah platí pro $n=k$ , tedy $6\mid(k^3+11k)$ . Dokažme, že platí také pro $n=k+1$ .

$(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=(k^3+11k)+12+3k^2+3k$

Podle indukčního předpokladu je výraz v závorce dělitelný 6 stejně jako číslo 12. Abychom dokázali, že předchozí výraz je dělitelný 6, stačí toto dokázat pro výraz $3k^2+3k.$

$3k^2+3k=3k(k+1)$

Čísla $k$ a $k+1$ jsou dvě po sobě jdoucí přirozená čísla. Tudíž právě jedno z nich musí být sudé. Pak také jejich součin $k(k+1)$ je sudé číslo. Číslo $3k^2+3k=3k(k+1)$
je dělitelné 3 a 2, a tedy 6.

Podobně se postupuje u druhého příkladu.

lukaszh

U druhého príkladu je to trošku zložitejšie, pretože sa premenná vyskytuje aj v exponente:
$\forall n\in\mathbb{N}\,:\,9\mid7^n+3n-1$
Prvý indukčný krok pre n=1 platí pretože 9|9. V druhom kroku ako napísal Pavel predpokladáme, že výrok platí pre n=k, teda
$\forall k\in\mathbb{N}\,:\,9\mid7^k+3k-1$
Pokračujeme v indukcií presne tak ako si napísal a úpravou dostávame:
$7^{k+1}+3(k+1)-1=7^k\cdot7+3k+3-1=7^k+3k-1+7^k\cdot6+3$
Vieme zapísa? výraz 7^k+3k-1 v tvare násobku čísla 9, keďže predpokladáme, že je deliteľný číslom 9:
$7^k+3k-1=9j\,;\,\, j\in\mathbb{N}$
Potom:
$9j+7^k\cdot6+3=9j+(6+1)^k+3=9j+6\cdot\left[{k\choose 0}6^k+{k\choose 1}6^{k-1}+{k\choose2}6^{k-2}\cdots+{k\choose k-1}6+{k\choose k}\right]+3= 9j+6\cdot\left[6^k+k\cdot6^{k-1}+{k\choose2}6^{k-2}\cdots+6k+1\right]+3=\nl =9j+6\cdot\left[(3\cdot2)^k+k\cdot(3\cdot2)^{k-1}+{k\choose2}(3\cdot2)^{k-2}\cdots+(3\cdot2)k\right]+9=9j+18\cdot\left[3^{k-1}\cdot2^k+k\cdot3^{k-2}\cdot2^{k-1}+{k\choose2}3^{k-3}\cdot2^{k-2}\cdots+2k\right]+9$
Toto je deliteľné deviatimi. Tvrdenie je teda dokázané.

Marian · 11. 10. 2008 23:28 — Editoval Marian (11. 10. 2008 23:29)

↑ lukaszh:

Já bych to viděl podstatně jednodušeji, totiž takto.

Pro n=1 je tvrzení snadno ověřitelné (9|9 ... platí). Předpokládejme, že dokazované tvrzení platí pro všechna $n_0\in\mathbb{N}$ taková, že $n_0\le n$ , kde n je fixní přirozené číslo, tj. předpokládejme, že platí
$9|(7^n+3n-1)\qquad\Leftrightarrow\qquad\exist j\in\mathbb{N}:\quad 7^n+3n+1=9j.$
Vyšetřujme nyní výraz $7^{n+1}+3\cdot (n+1)-1$ , o kterém máme dokázat za stanovených předpokladů, že je dělitelný devíti (nic snadnějšího ...). Platí totiž
$7^{n+1}+3(n+1)-1=7\cdot \boxed{7^n}+7\cdot \boxed{3n}-7\cdot \boxed{1}-(18n-9)=\nl =7\cdot\boxed{7^n+3n+9}-9(2n-1)=9j-9(2n-1)=9(j-2n+1).$

Hotovo!

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2008 18:18

matematická indukce

#2 11. 10. 2008 18:44 — Editoval Pavel (11. 10. 2008 18:45)

Re: matematická indukce

#3 11. 10. 2008 22:59 — Editoval lukaszh (11. 10. 2008 22:59)

Re: matematická indukce

#4 11. 10. 2008 23:28 — Editoval Marian (11. 10. 2008 23:29)

Re: matematická indukce

Zápatí