Matematické Fórum

roces · 09. 03. 2012 16:40

Dobrý den,
mám polynom $P(x) = x^5-3x^4+7x^3-9x^2+8x-4$ a hledám rozklad nad $\mathbb{C}$ , pomocí Hornerova schématu najdu kořen x = 1 a mám $(x-1)(x^4-2x^3+5x^2-4x+4)$ . Tento polynom $(x-1)(x^4-2x^3+5x^2-4x+4)$ již dále pomoci Hornerova schématu upravit nemůžu, podle wolframu jsem si všiml, že ho můžu rozložit na $(x^2-x+2)^2$ ale nevím jakým způsobem se k tomu dopracovat. Mohl by mi někdo poradit? Děkuji.

Rumburak · 09. 03. 2012 17:08

Také zdravím. Očekávanou radu dát neumím, omezím se jen na obecné poznámky.

Pro polynomy 4. stupně ještě existuje obecná algebraická metoda, jak nalézt jejich kořeny (pro polynomy stupně 5 a výše už jen
ve speciálních případech). Obecný postup je celkem pracný - na webu by se mohlo něco o tom nacházet.

K nalezení rozkladu někdy pomůže geniální vnuknutí kombinované s metodou pokus a omyl, ale na to nelze vždy spoléhat.
Z průběhu funkce je možno zjistit, zda polynom 4. stupně (s reálnými koeficienty) má reálné kořeny. Pokud ne, lze ho vyjádřit ve tvaru
$A(x^2-px + q)(x^2-Px + Q)$ pro vhodné reálné konstanty $A, p, q, P, Q$ (splňující $p^2 - 4q < 0$ , $P^2 - 4Q < 0$ ),
což někdy může pomoci (nazezení konstanty A <>0 je velmi snadné) .

roces · 09. 03. 2012 20:06

↑ Rumburak:↑ Rumburak:
Takže pokud nefunguje Hornerovo schéma, musím použít tuto metodu pokus/omyl ano?

Rumburak

↑ roces:
Stiktně vzato: nemusím. Existuje metoda, která rovnici 4. stupně převádí na rovnici 3. stupně:
Rovnici 4. stupně nejprve převedeme vhodnou lineární substitucí na tvar

(1) $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ .

Jejími kořeny $y_k , k = 1, 2, 3, 4$ jsou

$y_1 = \sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3}$ ,
$y_2 = \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3} - \sqrt{z_1}$ ,
$y_3 = \sqrt{z_3} - \sqrt{z_1} - \sqrt{z_2}$ ,
$y_4 = \sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3}$ ,

kde $z_j , j = 1, 2, 3$ jsou kořeny rovnice $z^3 \,+\, \frac{p}{2}\,z^2 \, +\, $\frac{p^2}{16}-\frac{r}{4}$z \,-\, \frac {q^2}{64} \,=\, 0$ , což je tzv. kubická resolventa rovnice (1).
Odmocniny ve vyjádření kořenů $y_k$ volíme tak, aby $\sqrt{z_1}\cdot \sqrt{z_2}\cdot \sqrt{z_3} = -\frac{q}{8}$ .

Ale praxi v řešení rovnic 4. ani 3. stupně nemám. Snad se vyjádří ještě někdo jiný.

kompik · 12. 03. 2012 10:06

Rumburak napsal(a):
↑ roces:
Stiktně vzato: nemusím. Existuje metoda, která rovnici 4. stupně převádí na rovnici 3. stupně:
Rovnici 4. stupně nejprve převedeme vhodnou lineární substitucí na tvar

(1) $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ .

A v tomto pripade mame dokonca stastie, ze ta vhodna substitucia vyjde tak, ze vypadne aj linearny clen qy. Dostaneme bikvadraticku rovnicu, ktoru vieme riesit.

Konkretne, ak chceme $x^4-2x^3+5x^2-4x+4$ upravit tak, aby vypadol kubicky clen, zvolime $y=x+1/2$ .
(Volime $y=x+u$ pre vhodne $u$ tak, aby nam to vypadlo.)

Po uprave dostaneme $y^4+\frac72y^2+\frac{49}{16}$ , co vieme riesit substituciou $y^2=t$ .

Wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 2F2%29%2B4

Je to sice pracne, ale viem si predstavit, ze by sa to dalo zrata i rucne.

**************

Ale skor sa mi zda lepsia ta metoda pokus omyl, resp. ked si napisem $x^4-2x^3+5x^2-4x+4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ , dostanem nejaku sustavu rovnic pre a,b,c,d; konkretne $a+c=-2$ , $ac+b+d=5$ , $ad+bc=-4$ , $bd=4$ .

Ak si tipnem, ze ta sustava bude mat celociselne riesenie, tak tam nie je az tak vela moznosti na vyskusanie. (Zacnem napriklad tym, ze si zvolim b a ostatne sa snazim doratat.)