Matematické Fórum

Domiinika

.

Domiinika

Zdravim, mohl by mi, prosim, nekdo pomoci s temito limitami goniometrickych funkci?
1) $\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{x^2}$
2) $\lim_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$
3) $\lim_{x\to -2}\frac{arcsin(x+2)}{x^2+2x}$
Vim, ze se to vsechno bude tocit okolo vzorce $\lim_{n\to 0}\frac{sinx}{x}=1$ ale proste zaboha se u techto prikladu nemuzu dostat k nejakym vysledkum... pomohl by, prosim, nekdo? Diky moc

Domiinika · 10. 03. 2012 00:22

No a uz jsem z toho tak mimo, ze jsem to napsala do druheho prispevku! :D Tak se omlouvam...

LuKillman · 10. 03. 2012 01:41

1) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot \lim_{x\to0}\frac{1}{1+\cos x}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Mihulik · 10. 03. 2012 08:26

Ahoj,
$\lim_{x\to 0}\frac{tanx - sinx}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{sinx-sinx\:cosx}{x^{3}cosx}=\lim_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x\cdot x^{2}cosx}$
S tím už si dokážeš poradit?
Vede to, jak říkáš, na známou limitu a ještě se ti bude nejspíš hodit vhodně výraz rozšířit.:)

Domiinika · 10. 03. 2012 10:51

Dekuji LuKillman :) jen mi tam neni jasne, jestli $\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{x^2}$ je to same jako ten vzorec? Nebo to uz beres tak, ze jsi to podelil a vynasobil x/x, coz je vlastne 1?

Mihulik: Dekuji, ale bohuzel jsem z toho jelen. Ty jsi to nejprve rozsiril cosx?

Mihulik

↑ Domiinika:
Ne ne, jen jsem využil toho, že $tan x=\frac{sinx}{cosx}$ , a celé to přepsal na jeden zlomek.
Rozšíření by mělo přijít na řadu teď... všimni si, že tam máš něco, co by ti mělo/mohlo připomínat gon. jedničku ( $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ ).:)

LuKillman · 10. 03. 2012 12:15

Není zač :). Kdyby sis nebyla jistá, jestli $\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{x^2}=1$ , tak si to můžeš rozložit na $(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x})\cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\cdot 1=1$ .

Domiinika · 10. 03. 2012 12:32

Jsi hodny, ale ja jsem na tohle fakt blba, nebo mi nedochazi nejaka zakladni vec. Mam $\lim_{x\to 0}\frac{tanx - sinx}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-\:cosx}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{sinx-sinx\:cosx}{x^{3}cosx}$ v citateli vytknu sinx a pak, podle tve rady, zkoumam, cim to rozsirit...a tady je muj konec. :/

Mihulik

↑ Domiinika:
napiš si to ve tvaru $\lim_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^{3}cosx}$ , rozlož na součin dvou limit, abys využila známou limitu, a zkus to rozšířit výrazem $1+cosx$ .
Pak už to snad bude jednoduché.
Stále mysli na to, že $\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$ a že $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ .
Víc zde není třeba.

Domiinika · 10. 03. 2012 13:12

$\lim_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^{3}cosx}=\frac{sinx}{x}*\frac{1-cosx}{x^2cosx}=\frac{1-cosx}{x^2cosx}*\frac{1+cosx}{1+cosx}=\frac{sin^2x}{x^2cosx+x^2cos^2x}$ ve jmenovateli mohu vytknout $x^2$ coz mi potom da $\frac{1}{cosx+cos^2x}$ a tady koncim :(

Mihulik · 10. 03. 2012 13:14

Není fce $f(x)=\frac{1}{cosx+cos^{2}x}$ spojitá v bodě 0?
Pokud ano, tak bych řekl, že jednodušší už to být ani nemůže.:)

Domiinika · 10. 03. 2012 13:23

Pekne si me podavas teda :) uz jsem na to prisla... $\frac{1}{cosx+cos^2x}=\frac{1}{cosx(1+cosx)}=\frac{1}{2}$ ano, absurdni, ale na me se musi jak na blbecka. Kazdopadne dekuji za pomoc mockrat :)

Mihulik · 10. 03. 2012 20:07

Jsem rád, že jsme se dobrali k cíli.:)

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2012 00:08 — Editoval Domiinika (10. 03. 2012 00:09)

Limity

#2 10. 03. 2012 00:21 — Editoval Domiinika (10. 03. 2012 00:23)

Re: Limity

#3 10. 03. 2012 00:22

Re: Limity

#4 10. 03. 2012 01:41

Re: Limity

#5 10. 03. 2012 08:26

Re: Limity

#6 10. 03. 2012 10:51

Re: Limity

#7 10. 03. 2012 10:54 — Editoval Mihulik (10. 03. 2012 10:57)

Re: Limity

#8 10. 03. 2012 12:15

Re: Limity

#9 10. 03. 2012 12:32

Re: Limity

#10 10. 03. 2012 12:41 — Editoval Mihulik (10. 03. 2012 12:42)

Re: Limity

#11 10. 03. 2012 13:12

Re: Limity

#12 10. 03. 2012 13:14

Re: Limity

#13 10. 03. 2012 13:23

Re: Limity

#14 10. 03. 2012 20:07

Re: Limity

Zápatí