Matematické Fórum

lukasvais · 10. 03. 2012 17:21

nepomohl by mi nekdo s touto ulohou?
Sečtěte:
$\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{2\cdot 6}+\frac{1}{3\cdot 7}+\frac{1}{4\cdot 8}+\frac{1}{5\cdot 9}+.........$
Proč je tato úloha zařazena za rozkladem na parciálí zlomky???

Phate · 10. 03. 2012 17:39

napises si ten zlomek obecne a pak ten obecny clen rozlozis na parcialni zlomky. Neco se ti poodecita a neco v limite pujde k nule

lukasvais · 10. 03. 2012 17:51

↑ Phate:

Proč je tato úloha zařazena za rozkladem na parciálí zlomky???

Andrejka3 · 10. 03. 2012 18:30

Phate napsal(a):
... a pak ten obecny clen rozlozis na parcialni zlomky. Neco se ti poodecita a neco v limite pujde k nule

Aby nedošlo k zacyklení.

lukasvais · 11. 03. 2012 11:34

↑ Andrejka3:

a jak to obecny rozlozim na parcialni zlomky?? napis mi pls kousek jak to ma vyadat. diky

lukasvais · 11. 03. 2012 12:30

↑ Andrejka3:

a nakonci ma byt cislo ne?? a nevis jake??

Andrejka3

Podle ↑ Návodu kolegy:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+4)}=\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{n+4}$ , protože
$\frac{1}{n(n+4)}=\frac{1/4}{n} - \frac{1/4}{n+4}$
Pro dostatečně vysoká $n$ je částečný součet této řady, $s_n$
$4s_n=1+1/2+1/3+1/4-1/(n+1)-1/(n+2)-1/(n+3)-1/(n+4)$ , což dá v limitě součet řady,
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+4)}=\frac{1}{4}(1+1/2+1/3+1/4)$ .

Edit: Díky, vanok. 4 místo 1/4.