Matematické Fórum

Jakub Pištěk · 12. 10. 2008 12:04

Ahoj,
mám problém s dvěma limitami první se mi podařilo spočítat ale nevim jeslti dobře.

výsledek mi vyšel tak jestli je výsledek správně

pak mam druhou tam to má ze zadání vyjít
a zadání je:

Lishaak · 12. 10. 2008 13:56

Na ten prvni priklad jsem zkusil jit pres L'Hospitalovo pravidlo:

$\lim_{x\to-\infty}(x+\sqrt{x^2+2}) = \lim_{x\to-\infty}x(1-\sqrt{\frac{x^2+2}{x^2}}) = \lim_{x\to-\infty}\frac{1-\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{\frac{1}{x}}$
$\lim_{x\to-\infty}\frac{1-\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to-\infty}-\frac{\frac{4}{2x^3\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to-\infty}-\frac{2}{x\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}} = -\frac{2}{-\infty} = 0$

Jeste by to mohl nekdo preletnout, jestli tam neni nejaka chybka...

Pavel · 12. 10. 2008 14:54 — Editoval Pavel (12. 10. 2008 15:04)

↑ Lishaak:

ve druhé limitě má být místo znaménka $-$ znaménko $+$ .

Obě limity lze řešit bez použití l'Hospitalova pravidla.

$\lim_{x\to-\infty}(x+\sqrt{x^2+2})=\lim_{x\to-\infty}\frac{(x+\sqrt{x^2+2})(x-\sqrt{x^2+2})}{x-\sqrt{x^2+2}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2-(x^2+2)}{x-\sqrt{x^2+2}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-2}{x-\sqrt{x^2+2}}=\frac{-2}{-\infty-\infty}=0.$

Pokud jde o druhou limitu, použil bych vzorec

$A^3-B^3=(A-B)(A^2-AB+B^2),$

který pozměním použitím substituce $A=\sqrt[3]{a}$ a $B=\sqrt[3]{b}$ takto:

$a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})\qquad\Rightarrow\qquad \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}=\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$

Rozdíl třetích odmocnin ve druhé limitě bych upravil podle tohoto vzorce. Pak stačí upravit čitatele, vytknout nejvyšší mocninu ze jmenovatele a pak už to půjde samo :-)

Lishaak · 12. 10. 2008 15:14

Pavel napsal(a):
ve druhé limitě má být místo znaménka $-$ znaménko $+$

Nesouhlasim. Pokud by tam bylo +, tak se ty vyrazy nebodou rovnat pro x < 0, coz jsou hodnoty o ktere nam jde,

Ale tim rozsirenim je to samozrejme hezci.

Pavel · 12. 10. 2008 15:31

↑ Lishaak:

Už to vidím, samozřejmě,

$\lim_{x\to-\infty}(x+\sqrt{x^2+2}) = \lim_{x\to-\infty}(x+\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac 2{x^2}})=\lim_{x\to-\infty}(x+|x|\sqrt{1+\frac 2{x^2}})=\lim_{x\to-\infty}(x-x\sqrt{1+\frac 2{x^2}})=\,\dots$

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2008 12:04

další Limita

#2 12. 10. 2008 13:56

Re: další Limita

#3 12. 10. 2008 14:54 — Editoval Pavel (12. 10. 2008 15:04)

Re: další Limita

#4 12. 10. 2008 15:14

Re: další Limita

Pavel napsal(a):

#5 12. 10. 2008 15:31

Re: další Limita

Zápatí