Matematické Fórum

darkmagic · 11. 03. 2012 14:46

Ahoj, mám níže uvedený příklad, mohl by mě někdo prosím nasměrovat, jak do toho? Říkám si, jestli není řešení popsáno nějakou funkcí toho úhlu alfa, na které bych hledal extrémy a ty by odpovídaly krajním úhlům, pod kterými může člověk běžet.

Nautileuz · 11. 03. 2012 15:46

Zdravím,
Pokud chceš zjistit minimální rychlost, kterou lze pošťáka ještě doběhnout tak:
$v_{min}=\frac{v_{1}\cdot h}{s}$

A maximalní a minimální uhel "alfa" vyřešíš pomocí rovnice:
$sin\text{ }\alpha =\frac{v_{1}h}{v_{2}s}$

Foxnec · 11. 03. 2012 21:04

Dobrý večer, mohl bych poprosit o rozepsání toho vztahu pro max. a min. úhel? Zápasím se stejnou úlohou a za vysvětlení bych byl velmi vděčný.

F.

darkmagic · 12. 03. 2012 09:06

Také se přidávám k žádosti o rozepsání vztahu, samotný výsledek moc nepomůže.

Nautileuz · 12. 03. 2012 11:30

↑ Foxnec:↑ darkmagic:
Dobrá pokusím se to vysvětlit uplně polopatě, zapoměnte na vzorce zapoměnte na vše. Stačí logika.
Nakreslím si ten obrázek na papír, udělám z toho pravouhlý trojuhelník.

Zpočítám si: délku silnice mezi poštákem a člověkem = 193,64917m
uhlel alfa v jakem spolu jsou = 75,52°
Vše ostatní vím a použiju logiku.: Pošták se pohybuje rychlostí 10ms^-1 za jak dlouho se dostane na urověn člověka ale 50m pravým uhlem k němu ? v=s/t => t=s/v = 193,64917/10 = 19,36492 s
Za jak dlouho pošták uběhne 50m ? t=50/3 = 16,666 s => stihne ho, ted stačí zkoušet zmenšovaní rychlosti:
3m/s 16,66666667 s
2,9m/s 17,24137931 s
2,8m/s 17,85714286 s
2,7m/s 18,51851852 s
2,6m/s 19,23076923 s
2,5m/s 20 s
Vydíme že výsledek je někde mezi, 2,6 a 2,5. Rozvedeme:
2,60 19,23076923 s
2,59 19,30501931 s
2,58 19,37984496 s

Pokud má ale člověk možnost běžet takhle: (viz modrá úsečka)

Aby si to ještě zkrátil tak:
Mužeme si s tím hrát a zkoušet ruzné vzálenosti poštáka a člověka, čim více budeme zkoušet tím zjistíme, že rychlost konverguje k jednomu číslu a to číslo je výsledek minimální rychlosti.

Nejkratší možná cesta je pomocí kolmice, spočteme znovu rozměry jako výše a uděláme stejný postup.

(hodnoty jsou v mm)

takže teď je nová celková vzdálenost poštáka k místu setkání s člověkem 206,55871 m, a vzdálenost člověka od místa setkání s poštákem 51,63968 m

Pošták tuto vzdálenost zvládne jeho rychlostí 10ms^-1 za čas 20,655871 s,
Člověk jeho vzdálenost uběhne rychlostí 3ms^-1 za čas 17,21322667 s zmenšíme:
3m/s 17,21322667 s
2,9 m/s 17,80678621 s
2,8 m/s 18,44274286 s
2,7 m/s 19,12580741 s
2,6 m/s 19,86141538 s
2,5 m/s 20,655871 s
2,4 m/s 21,51653333 s

Obdobnou logiku mužeme použít na určení max. a min uhlů alfa. Stačí jen logika a pár zakladních vzorců na řešení tohoto příkladu, pokud neumíme ze zadaní sestavit/odvodit výše uvedené vzorce.

Cheop · 12. 03. 2012 12:12 — Editoval Cheop (12. 03. 2012 14:13)

↑ darkmagic:
b)
Platí:
1)
$x^2+50^2=200^2\\x^2=37500\\x=50\sqrt{15}$
2)
$10t=50\cdot\sqrt{15}\\t=5\sqrt{15}$
3)
$v\cdot t=50\\v=\frac{50}{t}\\v_{min}=\frac{50}{5\sqrt{15}}\\v_{min}=\frac{2\sqrt{15}}{3}=2,582\,\text{m/s}$
a) - viz obrázek

zdenek1 · 12. 03. 2012 16:51

↑ darkmagic:
Dáme tomu trochu exaktnosti

v systému souřadnic na obrázku je trajektorie pošťáka daná rovnicemi
$\begin{cases}x=-x_0+v_1t\\y=h\end{cases}$
a trajektorie člověka
$\begin{cases}x=v_2t\sin\varphi\\y=v_2t\cos\varphi\end{cases}$
když se setkají, je
$\begin{cases}-x_0+v_1t=v_2t\sin\varphi\\h=v_2t\cos\varphi\end{cases}\ \Rightarrow\ v_2=\frac{v_1h}{x_0\cos\varphi+h\sin\varphi}$ (1)
Protože v čitateli jsou konstanty, bude zlomek minimální, když bude jmenovatel maximální.
Hledáme maximum výrazu $x_0\cos\varphi+h\sin\varphi$
$\frac{\mathrm{d}(x_0\cos\varphi+h\sin\varphi) }{\mathrm{d}\varphi }=0$
$-x_0\sin\varphi+h\cos\varphi=0$
$\tan\varphi_m=\frac h{x_0}$ (ověření, že se skutečně jedná o maximum, snad zvládneš)
Z trojúhelníku se stranami $s,h,x_0$ je pak
$\sin\varphi_m=\frac hs$ a
$\cos\varphi_m=\frac {x_0}s$
Dosazením do (1)
$v_{min}=\frac{v_1h}{x_0\frac {x_0}s+h\frac hs}$
a vzhledem k tomu, že $x_0^2+h^2=s^2$ , dostáváš Nautiluxův vztah z příspěvku #2

darkmagic · 12. 03. 2012 22:18

Děkuji všem zúčastněním.

↑ zdenek1:
Tvůj postup se mi líbí, dává to smysl. Zkoušel jsem dosadit $x_0$ ve vztahu $\tan\varphi_m=\frac h{x_0}$ hodnotu $\sqrt{s^2-h^2} = \sqrt{200^2-50^2} = 50\sqrt{15}$ . Úhel $\alpha$ (nikoli $\varphi$ ) mi pak ale vyšel jiný, než by dle výsledků měl (tj. tedy 56° 26′ 34′′ ≤ α ≤ 123° 33′ 26′′). Nezkoušel ten úhel vyčíslit? Já jen jestli blbě počítám, nebo jestli je chyba někde jinde.

Ten úhel 56° 26′ 34′′ ostatně potvrdil i ↑ Cheop:. Jeho rychlost zase ale vyšla nepřesně, správně je dle výsledků 2,5, jak ověřil zdenek.