Matematické Fórum

smatel · 13. 03. 2012 20:36

Pěkný podvečer, narazil jsem na následující příklad, avšak nepodařilo se mi ručně vyřešit rovnici, která z mých úvah vypadla.

Navzájem kolmé světelné paprsky se lámou na rozhraní vzduchu a skla. Určete index lomu skla, jestliže se jeden paprsek láme pod úhlem 26° a druhý pod úhlem 20°.

Dle Snellova zákona lomu pro jednotlivé paprsky:
$\frac {\sin \alpha_1}{\sin \beta_1} = n$
$\frac {\sin \alpha_2}{\sin \beta_2} = n$

Odtud:
$\alpha_1 = \arcsin (n\sin\beta_1)$
$\alpha_2 = \arcsin (n\sin\beta_2)$

Z prav. trojuhelniku, který paprsky tvoří zřejmě platí:
$90° - \alpha_1 + 90° - \alpha_2 + 90° = 180°$
Odkud:
$\alpha_1 + \alpha_2 = 90°$
Tedy:
$\arcsin (n\sin\beta_1) + \arcsin (n\sin\beta_2) = 90°$
Což není moc řešitelné; zkoušel jsem to "zesínovat" a rozložit pomocí vzorce:
$\sin( \arcsin (n\sin\beta_1) + \arcsin (n\sin\beta_2)) = 1$
$n\sin\beta_1\cos(\arcsin (n\sin\beta_1)) + \cos (\arcsin (n\sin\beta_2))n\sin\beta_2 = 1$
ČÍmž jsem si moc nepomohl...

Dle wolframu rovnice $\arcsin (n\sin\beta_1) + \arcsin (n\sin\beta_2) = 90°$ vychází kolem 1,5; což mělo vyjít.

Kdyby vás někoho napadlo nějaké jiné řešení, které nevede k těmhle šílenostem; budu moc vděčný :-)

Pěkný večer.

mák · 13. 03. 2012 21:04

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

smatel · 13. 03. 2012 21:08

↑ mák:
Jak se na to, prosím, přijde? Moc s těmi cyklometrickými fcemi neumím pracovat.
Díky z pomoc!

mák · 13. 03. 2012 21:23

Využiji tohoto:
$\sin ^2\left({{\pi}\over{2}}+\alpha\right)+\sin ^2\alpha=1$

smatel · 13. 03. 2012 21:30

↑ mák:
K řešení té rovnice $\arcsin (n\sin\beta_1) + \arcsin (n\sin\beta_2) = 90°$ ? Nebo někde ze začátku?

Díky.

mák · 14. 03. 2012 17:12

Jeden paprsek vstupuje pod úhlem $\alpha$ druhý o 90° posunutý $\alpha+{{\pi}\over{2}}$ :

$\frac {\sin \alpha}{\sin \beta_1} = n$
${{\sin \left(\alpha+{{\pi}\over{2}}\right)}\over{\sin {\beta_2} }}=n$

Upravíme:
$\sin \alpha=n\,\sin {\beta_1}$
$\sin \left(\alpha+{{\pi}\over{2}}\right)=n\,\sin {\beta_2}$

což je stejné jako:
$\sin \alpha=n\,\sin {\beta_1}$
$\cos \alpha=n\,\sin {\beta_2}$

Využijeme znalosti:
$\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1$

provedeme substituci:
$n^2\,\sin ^2{\beta_1}+n^2\,\sin ^2{\beta_2}=1$

A teď už je to lehké:
$n^2={{1}\over{\sin ^2{\beta_1}+\sin ^2{\beta_2}}}$

Doufám, že jsem to nezkonil, TeX není můj přítel ...

smatel · 14. 03. 2012 17:19

↑ mák:

Děkuji Ti! Tohle je pěkné řešení. Už tomu rozumím.

Jenom jsem si teď dokázal, že všechny cesty nevedou k cíli, ačkoliv příslušná rovnice formálně sedí...

Ještě jednou děkuji!

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2012 20:36

Optika: výpočet indexu lomu skla (zajímavý příklad)

#2 13. 03. 2012 21:04

Re: Optika: výpočet indexu lomu skla (zajímavý příklad)

#3 13. 03. 2012 21:08

Re: Optika: výpočet indexu lomu skla (zajímavý příklad)

#4 13. 03. 2012 21:23

Re: Optika: výpočet indexu lomu skla (zajímavý příklad)

#5 13. 03. 2012 21:30

Re: Optika: výpočet indexu lomu skla (zajímavý příklad)

#6 14. 03. 2012 17:12

Re: Optika: výpočet indexu lomu skla (zajímavý příklad)

#7 14. 03. 2012 17:19

Re: Optika: výpočet indexu lomu skla (zajímavý příklad)

Zápatí