Matematické Fórum

Estic · 11. 03. 2012 21:01

Potřeboval bych pomoci s příkladem:
Volte různá přirozená čísla n a zjišťujte , zda pro ně platí $2^{n}>n^{2}$ . Vyslovte hypotézu a ověřte ji matematickou indukcí.
Hypotéza by pak byla: pro všechna přirozená čísla $n\ge 5$ platí $2^{n}>n^{2}$
Ale potřeboval bych pomoci vyřešit důkaz matematickou indukcí

Andrejka3 · 11. 03. 2012 21:11

Ahoj, ráda poradím, ale určitě tušíš, jak se na to jde.
Zkus nějak začít.

Estic · 11. 03. 2012 21:31

↑ Andrejka3:
vím že bych měl za n dosadit k. v předchozích příkladech jsme tak za k dosadili například k+1 místo n. ale u tohoto vubec netušim

Andrejka3 · 11. 03. 2012 21:45

↑ Estic:
Co je k??
Začneme pro nejmenší hodnotu, n=5. To jsi již ověřil, že relace platí.
Předpokládejme, že relace $2^{n}>n^{2}$ je pravdivá pro všechna $n$ taková, že
$5 \leq n \leq k$ , kde $k$ je nějaké pevné přirozené číslo větší nebo rovno pěti. Tomuto předpokladu se říká indukční předpoklad.
Cílem je dostat:
$2^{k+1}>(k+1)^{2}$ (cíl),
toto, ale musíme teprve potvrdit.
Proto se podívejme zvlášť na jednotlivé strany zkoumané relace.
$2^{k+1}=2 \cdot 2^k$ (L)
Ale podle indukčního předpokladu je $2^{k}>k^{2}$ , tedy můžeme pokračovat v (L)
$2 \cdot 2^k > 2 k^2=k^2+k^2$
Chceme to, co nám vyšlo porovnat s pravou stranou (cíl(e)), konkrétně by bylo fajn, kdyby
$k^2+k^2>(k+1)^2=k^2+2k+1$ . To je pravda, pokud
$k^2>2k+1$ , ale to pravda je protože, toto lze upravit na
$k^2-2k+1>1+1$ , což je
$(k-1)^2>2$ . Toto je pravda, neboť podle předpokladu je $k-1 \geq 4$ , tedy dokonce $(k-1)^2>15$ .

Lepší by bylo kdybys to nějak poskládal ty... Takhle se bojím, že to pro tebe nebude příliš srozumitelné.
Můžeš zkusit to udělat po svém a psát sem svůj pokus.

Estic · 11. 03. 2012 21:55

↑ Andrejka3:
tohle je naprosto super. Tu druhou polovinu asi tuším jak udělat. Vím že pokud si tu rovnici poskládám tak, že když dostanu člen který je v předpokladu tak ho mohu vypustit. Nebo ne? Zítra na to mrknu lépe, bude na to více času, ale ted vím od čeho se odpíchnu a napíšu sem tedy svuj postup. Děkuju ;-)

Andrejka3 · 11. 03. 2012 21:57

Ono to je už hotové. Jen poskládáš ty nerovnosti. Ale rozhodně stojí za to zkusit to sám, a toto brát jen jako příklad jak se na to může jít.

Andrejka3 · 11. 03. 2012 21:59

Ukázala jsem, že
$2^{k+1}>2k^2$ a že
$2k^2> (k+1)^2$ , tedy
$2^{k+1}>(k+1)^2$ pro $5 \leq n \leq k$ .

Estic · 11. 03. 2012 22:04

↑ Andrejka3:
jojo už to právě vidím a pochopil jsem celé. Moc děkuju

Estic · 13. 03. 2012 21:30

↑ Estic:
Mohu se tě ještě zeptat na to, jak jsi sem dostala vlastně $k^2+k^2$ do levý strany $k^2+k^2>(k+1)^2=k^2+2k+1$ ?? Děkuju

Andrejka3 · 31. 03. 2012 17:53

$2^{k+1}=2 \cdot 2^k > 2 k^2=k^2+k^2$ Pozdě ale přece?

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2012 21:01

Posloupnost s hvězdičkou

#2 11. 03. 2012 21:11

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#3 11. 03. 2012 21:31

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#4 11. 03. 2012 21:45

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#5 11. 03. 2012 21:55

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#6 11. 03. 2012 21:57

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#7 11. 03. 2012 21:59

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#8 11. 03. 2012 22:04

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#9 13. 03. 2012 21:30

Re: Posloupnost s hvězdičkou

#10 31. 03. 2012 17:53

Re: Posloupnost s hvězdičkou

Zápatí