Matematické Fórum

dusek · 14. 03. 2012 19:12

Určete rovnici tětivy hyperboly $4x^{2}-y^{2}-4=0$ , která je bodem $A[2;2]$ půlena.

Rumburak · 14. 03. 2012 21:49

Zkoumal bych přímky procházející bodem A a jejich průsečíky s hyperbolou.

Papajuli · 14. 03. 2012 22:12

↑ Rumburak:

No jestli má být bod A středem tětivy, pak by podle mě měl ležet na přímce procházející hlavní osou.

zdenek1 · 15. 03. 2012 01:00

↑ dusek:
Sečna protne hyperbolu ve dvou bodech $T_1[x_1;y_1]$ a $T_1[x_2;y_2]$ . Bod $A[2;2]$ je střed, proto platí
$\frac{x_1+x_2}2=2\ \Rightarrow\ x_1+x_2=4$ (1)
a
$\frac{y_1+y_2}2=2\ \Rightarrow\ y_1+y_2=4$ (2)

Současně tyto body leží na hyperbole, proto musí splňovat rovnice
$x_1^2-4y_1^2-4=0$
a
$x_2^2-4y_2^2-4=0\ \Rightarrow\ (4-x_1)^2-4(4-y_1)^2-4=0$ (využití vztahů (1) a (2))
$16-8x_1+x_1^2-64+32y_1-4y_1^2-4=0$
$4y_1-x_1-6=0$
Takže bod $T_1$ leží na přímce $p:x-4y+6=0$
bod $A$ také leží na přímce $p$
a bod $T_2$
$(4-x_1)-4(4-y_1)+6=4y_1-x_1-6=0$ také leží na přímce $p$ .
Takže přímka $p$ je hledaná sečna.

dusek · 15. 03. 2012 08:23

↑ zdenek1:

Ahoj, děkuju za odpověď.

(akorád jste prohodil 4 u rovnice hyperboly)
takže ta přímka bude $p:4x-y-6=0$ .

Vychází to přesně Odkaz na obrázek

Cheop · 15. 03. 2012 09:04 — Editoval Cheop (15. 03. 2012 09:17)

↑ zdenek1:
Jen poznámka:
Je to sečna, ale jiné hyperboly a to hyperboly: $x^2-4y^2=4$
Ta sečna bude mít rovnici:
$y=4x-6$

Rumburak

↑ Papajuli:

Papajuli napsal(a):
↑ Rumburak:

No jestli má být bod A středem tětivy, pak by podle mě měl ležet na přímce procházející hlavní osou.

Toto tvrzení neplatí. Pojďme na to z druhé strany. Uvažujme např. hyperbolu $h$ o rovnici $y = \frac{1}{x}$ a její body $A=[1;\, 1]$ , $B=[2; \,0,5]$ .
Středem úsečky AB je bod $S=[1,5 ; 0,75]$ , který na přímce $p$ procházející hlavní osou hyperboly $h$ neleží. (Přímka $p$ má rovnici $y = x$ .)