Matematické Fórum

gonzinho12 · 14. 03. 2012 21:23

Ahoj, potřeboval bych poradit, kde dělám chybu při určování rovnice elipsy.
mám zadány body A = $[1;3]$ a B = $[3,2]$ , oba tyto body leží na elipse, úkol je napsat osovou rovnici elipsy.
Zkoušel jsem si oba body dosadit do rovnice elipsy $\mathrm{x}^{2} / \mathrm{a}^{2} + \mathrm{y}^{2} / \mathrm{b}^{2} = 1$ , když to pak dosadim, nemůžu se dokopat k výsledku.

Papajuli · 14. 03. 2012 21:40

↑ gonzinho12:

Dosazuješ do špatného vzorce. Střed elipsy není v počátku, tj. v bodě [0,0], ale leží uprostřed úsečky AB. Nejdřív si tedy musíš spočítat souřadnice středu a pak dosadit do vzorce pro rovnici elipsy se středem S [m,n].

gonzinho12 · 14. 03. 2012 21:44

aha, to mě nenapadlo, ale kde je daný, že střed leží ve středu úsečky AB?

Papajuli · 14. 03. 2012 21:55

↑ gonzinho12:

A,B se ustáleně značí hlavní vrcholy elipsy, potom střed leží uprostřed úsečky AB. Pokud by se ale jednalo o jakékoli body ležící na elipse, pak to samozřejmě neplatí. Záleží jaké bylo přesně zadání.

gonzinho12 · 14. 03. 2012 22:03

já vim, AB jsou většinou hlavní nebo vedlejší vrcholy elipsy, ale v zadání tohle určeno nebylo, tak si nejsem jistej, jak by to pak mělo být.

Papajuli · 14. 03. 2012 22:08

↑ gonzinho12:

Pokud by to nebyly hlavní vrcholy a v zadání nebylo ani nic o tom, že střed elipsy je v poočátku, pak by úloha měla nekonečně mnoho řešení.

gonzinho12 · 14. 03. 2012 22:23

no vypočítal jsem si tedy ten střed AB, poté jsem dosadil do té rovnice a vyšlo mi, že 0=0, což je nekonečně mnoho řešení, ale výsledek v učebnici má jen 1 řešení, tak vážně nevim, kde mám zase chybu.

Cheop · 15. 03. 2012 12:00 — Editoval Cheop (15. 03. 2012 12:02)

↑ gonzinho12:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ - osová rovnice elipsy, střed S=(0; 0)
Dosazením souřadnic zadaných bodů dostaneme rovnice:
$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\\\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$
Zavedeme substituci:
$\frac{1}{a^2}=u\\\frac{1}{b^2}=v$
Dostaneme rovnice:
$u+9v=1\\9u+4v=1\\u=\frac{5}{77}\\v=\frac{8}{77}$
Vratka k substituci a dostaneme
$\frac{1}{a^2}=\frac{5}{77}\\\frac{1}{b^2}=\frac{8}{77}$
Rovnice elipsy:
$\frac{5x^2}{77}+\frac{8y^2}{77}=1\\5x^2+8y^2=77$