Matematické Fórum

aceri · 30. 09. 2008 17:47

a) Mám 6 jablek a 3 hrušky, chci udělat salát z pěti kusů ovoce, aby tam byla nejméně jedna hruška. Kolika způsoby to lze udělat?

výsledek 120

b) V podniku pracuje 18 mužů a 16 žen. Kolika způsoby lze vybrat 7 zaměstnanců tak, aby mezi nimi byli
a) 4 muži a 3 ženy,
b) 6 mužů a 1 žena,
c) alespoň 4 ženy?

výsledek 1 713 600; 297 024; 2 309 008

c) Kolika způsoby lze do tří různých obálek rozmístit pět stokorun a pět padesátikorun tak, aby žádná obálka nezůstala prázdná?

výsledek 336

Může někdo poradit jakým způsobem to mám počítat?
Díky

Pavel Brožek

A) Sečteme případy, kdy tam bude jedna hruška (vybíráme 1 hrušku ze tří a 4 jablka z 6, je to tedy ${3\choose1}\cdot{6\choose4}=45$ možností), dvě hrušky (vybíráme 2 hrušky ze 3 a 3 jablka z 6, je to tedy ${3\choose2}\cdot{6\choose3}=60$ možností) a tři hrušky (hrušky jsou určeny, vybíráme pouze 2 jablka z 6, je to tedy ${6\choose2}=15$ možností) Celkem tedy 120 možností.

B) a) vybereme 4 muže z 18 ( ${18\choose4}$ možností) a nezávisle na tom 3 ženy z 16 ( ${16\choose3}$ možností). Celkem tedy ${18\choose4}\cdot{16\choose3}=1713600$ možností.
b) vybereme 6 mužů z 18 ( ${18\choose6}$ možností) a nezávisle na tom jednu ženu z 16 (16 možností). Celkem tedy ${18\choose6}\cdot16=297024$ možností.
c) sečteme možnosti se čtyřmi, pěti, šesti a sedmi ženami: ${18\choose3}\cdot{16\choose4}+{18\choose2}\cdot{16\choose5}+18\cdot{16\choose6}+{16\choose7}=2309008$

C) Vycházím odsud:

Nejdříve zjistíme všechna rozmístění bez podmínky neprázdnosti. Těch je podle pravidla součinu (rozmís?ujeme nezávisle stokoruny a padesátikoruny) $(C_5(3))^2={7\choose5}^2$ . Odečteme postupně rozmístění, kdy je právě jedna obálka prázdná, a poté kdy jsou dvě obálky prázdné. Celkem $(C_5(3))^2-3((C_5(2))^2-2)-3={7\choose5}^2-3({6\choose5}^2-2)-3=336$ .

aceri · 13. 10. 2008 18:51

Můžu se zeptat jak si přišel na to, 3 nad 1 krát 6 nad 4= 45, nějak mi to nevychází,díky

Pavel Brožek · 13. 10. 2008 19:10

↑ aceri:
${3\choose1}\cdot{6\choose4}=\frac{3!}{1!\cdot 2!}\cdot\frac{6!}{4!\cdot2!}=\frac{6}{2}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2}=3\cdot\frac{6\cdot5}{2}=3\cdot15=45$

Stačí takhle?

aceri · 13. 10. 2008 19:21

Jo,díky dělal jsem tam jednu nepřesnost,ted se mi to objasnilo...

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2008 17:47

Kombinatorika

#2 30. 09. 2008 19:16 — Editoval BrozekP (30. 09. 2008 20:25)

Re: Kombinatorika

#3 13. 10. 2008 18:51

Re: Kombinatorika

#4 13. 10. 2008 19:10

Re: Kombinatorika

#5 13. 10. 2008 19:21

Re: Kombinatorika

Zápatí