Matematické Fórum

evik · 13. 10. 2008 14:21

Zde mám příklady nad kterýma uvažuju. Může mě někdo napomoct :)?

1)
Jev A může nastat v daném pokusu s pravděpodobností p. Pokus byl nezávisle opakován celkem n-krát. Jaká je pravděpodobnost toho, že přitom jev A nastane alespoň jednou?
(zde si myslím, že by to mohla být 1/n, je to dobře nebo je tam něco zkrytého?)

2)
Lovec vystřelil 3x na divočáka. Pravděpodobnost zásahu prvním výsřelem je 0,4, druhým 0,5 a třetím 0,7. Jedním zásahem lze usmrtit divočáka s pravděpodobností 0,2, dvěma zásahy s pravděpodobností 0,6, a třemi zásahy s jistotou. Jaká je pravděpodobnost toho, že loves divočáka usmrtil?

3)
Pravděpodobnost sestřelení letadla jedním výstřelem z karabiny je 1/250. Určete pravděpodobnost sestřelení letadla salvou z 250 karabin za předpokladu, že jednotlivé střely jsou nezávislé.
(zde si myslím, že to bude s jistotou, potřebuju se jen ujistit)

Lishaak · 13. 10. 2008 14:34

Priklady jedna a tri jsou variace na ten samy princip. Tvoje reseni je ale chybne. Co kdyby bylo karabin 500? To bude pravdepodobnost zasahu rovna dvema?
Doporucuju prejit k opacnemu jevu, tedy pocitat vyraz 1-P(A), kde A je jev, ze nedojde ani k jednomu zasahu (jev A nenastane ani jednou). Obecneji plati, ze pocet vyskytu jevu A se ridi takzvanym binomickym rozdelenim. Pokud nevis co to je, nevadi. U techto prikladu to neni potreba.

Druhy priklad je pracnejsi. Vzhledem k tomu, ze zasahy nemaji stejnou pravdepodobnost, musi se to udelat "hrubou silou", tedy spocitat pravdepodobnosti vsech moznosti, ktere mohou nastat. Ted ale na to nemam uplne cas. Urcite to zpracuje nektery z kolegu...

evik · 13. 10. 2008 14:47

Aha,
a můžeš mi to prosím trochu víc přiblížit? Nerozumím... jak vypočtu P(A) (pravd. že nedojde k zásahu?) To je těch 250-1? pak P(A)=249/250? a pak byto bylo 1 - 249/250? Nebyla by ta prav. nějak moc malá?

musixx · 13. 10. 2008 15:19 — Editoval musixx (13. 10. 2008 15:21)

↑ evik: Pravdepodobnost, ze ho nesestreli jednou ranou, je 249/250. Kdyz to udelaji 250krat po sobe, ale nezavisle na sobe, mame $\left(\frac{249}{250}\right)^{250}$ pravdepodobnost nezasahu, tedy $1-\left(\frac{249}{250}\right)^{250}$ pravdepodobnost zasahu (BTW, to je asi 63%).

musixx · 13. 10. 2008 15:31 — Editoval musixx (13. 10. 2008 15:34)

↑ musixx: Pokracovani:

"Jak vysvetlit, ze je vhodne prejit k jevu opacnemu," davam si recnickou otazku.

Kdyz nejaky pokus opakuju n-krat, tak se to 'n' drive nebo pozdeji objevi typicky nekde v exponentu. Co to rika? Rika to to, ze jev A se konal v prvnim pokusu, pak i v druhem, tretim, az n-tem. Nam tady jde o to, jestli ho sestreli nebo ne. Je nam jedno, ve kterem pokusu. Proto je snazsi to pocitat tak, ze ho NEsestreli ani v jenom z 'n' pokusu a vysledek odecist od jedne (nebo od 100%, jak chces). Samozrejme by uloha sla resit tak, ze budeme pocitat, jestli ho sestreli v 1. pokusu + jestli ho sestreli ve 2. pokusu + ... Vysledek musi byt stejny, jen prace s pocitanim je pokazde jina:

sestreli ho na prvni pokus: 1/250

sestreli ho na druhy pokus, tedy poprve ne, podruhe ano: 249/250 * 1/250

sestreli ho na treti pokus, tedy poprve ne, podruhe ne, potreti ano: 249/250 * 249/250 * 1/250

sestreli ho na ctvrty pokus, tedy poprve ne, podruhe ne, potreti ne, poctvrte ano: 249/250 * 249/250 * 249/250 * 1/250

....

Celkem tedy mame pravdepodobnost, ze jej sestreli na nekolikaty pokus rovnu
$\sum_{i=0}^{249}\frac1{250}\cdot\left(\frac{249}{250}\right)^i$ ,
coz dava stejnych asi 63%.

evik · 13. 10. 2008 19:40

hmmm dekuju
a co rikate na tu 2) ?

Pavel Brožek · 13. 10. 2008 20:28

↑ evik:

Pravděpodobnost usmrcení je 0,8068. Nevím jestli existuje lepší způsob než rozebrání všech možností, tak jsem to dělal. Nebudu to úplně rozepisovat, uvedu jen dva ze všech případů, abys viděla jak to udělat:

1. střela mine, 2. trefí, 3. mine: Pravděpodobnost toho je $(1-0,4)\cdot0,5\cdot(1-0,7)=0,6\cdot0,5\cdot0,3=0,09$ . Dále je pravděpodobnost, že dojde k usmrcení, rovna 0,6. Pravděpodobnost toho, že zasáhneme pouze druhou střelou a divočák bude usmrcen je tedy $0,09\cdot0,6=0,054$

Jiná možnost:

1. střela trefí, 2. trefí, 3. mine: Pravděpodobnost toho je $0,4\cdot0,5\cdot(1-0,7)=0,4\cdot0,5\cdot0,3=0,06$ . Pravděpodobnost, že NEdojde k usmrcení, je $(1-0,2)\cdot(1-0,6)=0,8\cdot0,4=0,32$ . Pravděpodobnost, že dojde k usmrcení, je tedy $1-0,32=0,68$ . Pravděpodobnost toho, že zásáhneme prvními dvěma střelami a mineme poslední střelou a divočák bude usmrcen je tedy $0,06\cdot0,68=0,0408$ .

Zbývá vyřešit ostatní možnosti a všechny pravděpodobnosti sečíst.