Matematické Fórum

Joerex · 15. 03. 2012 20:50

Zdravím, potřeboval bych poradit jak určit meze u dvojných integrálů:

1) $\int_{}^{}\int_{}^{}(x^2+2xy)dx dy , 0<y\le x\le 2$

udělám graf, první meze by měla být 0 a 2, ale nevím jak zjistit druhou mez

totéž platí pro tento integrál

2) $\int_{}^{}\int_{}^{}(3y-2x^2-2y^2)dx dy,1<x^2+y^2<9,y>0$

grafem je kružnice takže se nejspíš použijí polární souřadnice, dál ale nevím.

Potřebuji pomoci pouze s určení mezí, výpočet zvládnu. Díky za rady.

jelena · 15. 03. 2012 21:35

Zdravím,

v prvním případě nakreslíš přímku $y=x$ a oblast, pro kterou platí, že x je větší, než y - polorovina. Potom po ose y omezíš na od 0 do 2 a stejně po ose x - měl by vzniknou trojúhelník. Potom se rozhodní, zda meze pro x jen konstanty od 0 do a pro y funkce od x do 2 (nebo naopak).

v druhém případě je mezikruží - střed kružnic je (0, 0), větší kružnice poloměr 3, menší 1. Kladné y vymezuje polovinu v 1. a 2. kvadrantu.

Myslím, že MAW a Wolfram také zakreslí - zkoušel jsi? Dobré materiály jsou k tomu na mathonline. Stačí tak na úvod? Děkuji.

Joerex · 15. 03. 2012 22:45

Tak meze určeny, první integrál spočítanej. Akorát u druhýho nevim jak správně přepsat ten integrál pomocí "ró".

MAW a Mathematicu používám pravidlně pro kontrolu.

jelena · 15. 03. 2012 23:24

Pokud ho chceš přepisovat pomocí $\rho$ , potom si musíš představit, že průvodič musí mít schopnost při otočení okolo středu kružnic projít celé poloviční mezikruží. Proto $\rho$ $$$$ bude v intervalu 1 až 3 a úhel se bude měnit tak, aby se protočil v horní polorovině.

Jinak na mathonline je odvození popsáno u Dvojných integrálů - transformace.

Celé jsem nepočítala, je možné, že převod do polárních souřadnic není nutné a stačí jen vyjádřit y z rovnic kružnic pro horní a dolní funkční mez. Případně ověř.

Joerex · 16. 03. 2012 11:18 — Editoval Joerex (16. 03. 2012 11:45)

No, tak nějak jsem se dopracoval k výsledku $13-5\pi$ .
Integrál vypadá následovně, snad to bude dobře.
$\int_{1}^{3}(\int_{0}^{\pi }((3\varrho sin\Phi -\varrho ^2)*\varrho ) d\Phi)d\varrho$

edit: druhou mez jsem dostal takto
$\varrho sin\Phi >0 \Rightarrow sin\Phi >0\Rightarrow \Phi \in (0,\pi )$

jelena · 16. 03. 2012 12:58

↑ Joerex:

děkuji, meze jsou v pořádku, ale při dosazování se mi zdá, že vypadla 2, tak bych to měla:

$\int_{1}^{3}$\int_{0}^{\pi }\(\(3\varrho \sin\varphi -2\varrho ^2$\varrho \) \d \varphi\)\d \varrho$

Souhlasí to? Děkuji.

Joerex · 16. 03. 2012 13:57 — Editoval Joerex (16. 03. 2012 13:59)

Ano to jsem přehlédl, výsledek je potom $13-10\pi$

To by mělo být vše, díky za pomoc.

jelena · 16. 03. 2012 19:03

↑ Joerex:

mně ten výsledek vychází jinak (4*(13-10pi)), ale musela bych se přinutit soustředit pořádně, abych to překontrolovala, to se mi asi nepodaří. Omlouvám se.

chuckier · 16. 03. 2012 19:25

↑ jelena:
Ahoj, dnes jsem tento příklad taky počítal a vyšlo to přesně takhle. Jen mě zarazilo, že je výsledek záporný, ale zřejmě je to vypočítané dobře.

Joerex · 16. 03. 2012 20:56

Výsledek jsem pouze pokrátil, jinak je to těch $52-40\pi$

jelena · 16. 03. 2012 21:48

↑ chuckier:

proč je "záporné", to nevím, teď se mi to opravdu nehodí uvažovat, snad někdo z hodných kolegů zkritizuje, děkuji.

↑ Joerex:

"pouze pokrátit" to asi nešlo, že ano?

Joerex · 16. 03. 2012 22:42 — Editoval Joerex (16. 03. 2012 22:42)

Teď nevím, co tím myslíš. Výsledek se upravit nesmí?

jelena · 17. 03. 2012 09:13

Omlouvám se, dříve mi to nevyšlo překontrolovat (snad ještě aktuální) - chybu jsem nenašla. Otázka na záporný výsledek - už jsem pochopila, jak to asi myslíte - pokud to bereme jako výsledek výpočtu objemu tělesa nad zadanou oblasti, tak by nemohl být záporný.

Objem by záporný nebyl - pokud zakreslíte těleso na zadané oblasti, tak mi vychází, že je celé pod rovinou xOy, proto objem by se počítal jako integrál od $(0-(3y-2x^2-2y^2))$ , nebo pomocí absolutní hodnoty.

Výsledek můžeš upravit: $52-40\pi=4(13-10 \pi)$ , 4 nemůžeš odstranit jen tak, zřejmě přepracovanost :-)

Už je všechno v pořádku? Děkuji.

Joerex · 17. 03. 2012 10:09

Teď už ano.

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2012 20:50

Meze dvojneho integralu

#2 15. 03. 2012 21:35

Re: Meze dvojneho integralu

#3 15. 03. 2012 22:45

Re: Meze dvojneho integralu

#4 15. 03. 2012 23:24

Re: Meze dvojneho integralu

#5 16. 03. 2012 11:18 — Editoval Joerex (16. 03. 2012 11:45)

Re: Meze dvojneho integralu

#6 16. 03. 2012 12:58

Re: Meze dvojneho integralu

#7 16. 03. 2012 13:57 — Editoval Joerex (16. 03. 2012 13:59)

Re: Meze dvojneho integralu

#8 16. 03. 2012 19:03

Re: Meze dvojneho integralu

#9 16. 03. 2012 19:25

Re: Meze dvojneho integralu

#10 16. 03. 2012 20:56

Re: Meze dvojneho integralu

#11 16. 03. 2012 21:48

Re: Meze dvojneho integralu

#12 16. 03. 2012 22:42 — Editoval Joerex (16. 03. 2012 22:42)

Re: Meze dvojneho integralu

#13 17. 03. 2012 09:13

Re: Meze dvojneho integralu

#14 17. 03. 2012 10:09

Re: Meze dvojneho integralu

Zápatí