Matematické Fórum

kaliro · 14. 10. 2008 18:14

Ahojky, potreboval bych poradit jak vyresit pomoci LU rozklacu soustavu linearnich rovnic.
x1+x2+x3=1
x1+2x2-x3=1
x1-x2+2x3=2

Moc dekuju za pomoc :)

ttopi · 14. 10. 2008 18:35 — Editoval ttopi (14. 10. 2008 18:56)

Ahoj,

Zapíšeš si koeficienty u $x_i$ jako prvky matice spolu s číslem za rovnítkem.

Dostaneš takovouto matici:
$\begin{pmatrix}1&1&1&1 \nl1&2&-1& 1\nl 1&-1&2&2 \end{pmatrix}$ kterou upravuješ tak dlouho, dokud ve spodním řádku jasně nevyskočí výsledek nějakého x - to pak dosadíš o řádek výše a zjistíš další x atd... Obecně se upravuje matice tak, aby byla diagonální, což v tomto případě zjevně nejde.

Nabízím své řešení,nebudu psát jednotlivé kroky, jen ukážu k čemu jsem dospěl.

$\begin{pmatrix}1&1&1&1 \nl 1&2&-1& 1\nl 1&-1&2&2 \end{pmatrix} ..... \begin{pmatrix}1 & 1&1&1 \nl 0&3&0& -2\nl 0&0&-3&1\end{pmatrix}$

Ve spodním řádku je vidět, že $-3x_3=1 \nl x_3=-\frac{1}{3}$
Druhý řádek odspoda hodí, že $3x_2=-2\nlx_2=-\frac{2}{3}$
V horním řádku stačí dosadit za x2 a x3 vypadne, že $x_1=2$ .

EDIT: Uf, tak se omlouvám, jsem mimo :-)))))))

lukaszh · 14. 10. 2008 18:54

Treba si najprv urči? elementárne matice, ktoré "kódujú" úpravy:
1. Najprv treba odčíta? prvý riadok od druhého a tretieho, dostávame elementárnu maticu

Teraz vynásobením $M_1\cdot A$ dostaneme upravenú maticu:

Toto budeš zapisova? a dostaneš rozklad:
$M_n\cdots M_2\cdot M_1\cdot A=U$
Potom LU rozklad bude vyzera? takto:
$A=M^{-1}_1\cdot M^{-1}_2\cdots M^{-1}_n\cdot U$
Potom sa rieši namiesto systému rovníc $A\cdot x=b$ systém $L\cdot U\cdot x=b$
Potom už vieš ďalej postupova??

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2008 18:14

MATICE- ROVNICE

#2 14. 10. 2008 18:35 — Editoval ttopi (14. 10. 2008 18:56)

Re: MATICE- ROVNICE

#3 14. 10. 2008 18:54

Re: MATICE- ROVNICE

Zápatí