Matematické Fórum

petrasek86 · 20. 03. 2012 17:33

zdravim potreboval bych pomoc pri vypoctu tohoto prikladu

$x^{\prime\prime} + x = f(t), kde f(t) \stackrel{\text{def}}{=} :\nl 0, t < 1,\nl 2, t \in \langle1, 4\rangle, x(0) = x\prime(0) = 0.\nl 0, t > 4,$

zatim jsem dospel k tomuto:
$X(p) = \frac1{p(p^2+1)}*(e^{-p}+e^{-4p})$
netusim zda je to spravne a nevim jak mam udelat zpetnou laplaceovu transformaci abych dostal reseni

Za pomoc predem dekuji

lukaszh · 20. 03. 2012 19:27

↑ petrasek86:

Celkom sa mi tvoje riešenie nepozdáva. Podľa homogénnych počiatočných podmienok máme

$X(p):=\mathcal{L}\{x''(t)+x(t)\}=p^2\mathcal{L}\{x\}+\mathcal{L}\{x\}$

Pravú stranu možno rozpísať pomocou Heavisideovych funkcií

$f(t)=2H_1(t)-2H_4(t)$

pričom je známy Laplaceov obraz

$\mathcal{L}\{H_s\}=\frac{e^{-sp}}{p}$

Z toho dostávame

$\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2}{p}\left(e^{-p}-e^{-4p}\right)$

Riešením je teda

$X(p)=\frac{2}{p(1+p^2)}\left(e^{-p}-e^{-4p}\right)$

--------------------------------

Na dokončenie, teda nájdenie inverzie, stačí využiť identitu

$\mathcal{L}\{H_s(t)G(t-s)\}=e^{-sp}\mathcal{L}\{G(t)\}$

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2012 17:33

Laplaceova transformace help prosím

#2 20. 03. 2012 19:27

Re: Laplaceova transformace help prosím

Zápatí