Matematické Fórum

Fakfull · 20. 03. 2012 21:23

Zdravím,potřeboval bych upravit a zderivovat funkci $\frac{\sin 2x+1}{\sin x+cos x}$

aby výsledek byl $-\sin x+\cos x$

a prosím jestli by jste mi někdo mohl poradit i postup, protože se vůbec nechytám.

Děkuji za pomoc :)

Aquabellla

↑ Fakfull:

$\left(\frac{\sin 2x + 1}{\sin x + \cos x}\right)' = \frac{\cos 2x \cdot 2 \cdot (\sin x + \cos x) - (\sin 2x + 1) \cdot (\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \nl = \frac{(\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot 2 \cdot (\sin x + \cos x) - (2 \cdot \sin x \cdot \cos x + 1) \cdot (\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \nl = \frac{2 \cdot \cos^3 x - \cos x - 2 \cdot \sin^3 x + \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\cos x \cdot (2 \cdot \cos^2 x - 1) - \sin x \cdot (2 \cdot \sin^2 x - 1)}{(\sin x + \cos x)^2} = \nl = \frac{\cos x \cdot (\cos 2x) - \sin x \cdot (- \cos 2x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\cos 2x \cdot (\sin x + \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \nl = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x + \cos x} = \cos x - \sin x$

První krok je klasické zderivování podílu a pak už jen úprava + použití několik základních vzorců pro goniometrické funkce.
Doufám, že jsem nikde neudělala překlep, ale podle stroje se výsledek shoduje.

didik · 20. 03. 2012 23:09

Když se to trochu upraví jde to i jednodušedji:
$\frac{\sin 2x +1}{\sin x + \cos x}=\frac{2\sin x \cos +1}{\sin x + \cos x} = \frac{2\sin x \cos x +{\sin x}^2 +{\cos x}^2}{\sin x + \cos x}$
Když si teď vpomeneš na vzreček $(a+b)^2$ a představíš si, že $a=\sin. x$ a $b=\cos x$ tak se ve výrazu něco pokrátí a dál by to mělo jít samo.

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2012 21:23

Derivace funkce

#2 20. 03. 2012 22:55 — Editoval Aquabellla (20. 03. 2012 22:59)

Re: Derivace funkce

#3 20. 03. 2012 23:09

Re: Derivace funkce

Zápatí