Matematické Fórum

darkmagic · 21. 03. 2012 00:08

Ahoj, mám příklad, který zní z části takto Hmotý bod se pohybuje v rovině xy po trajektorii
zadané parametrickými rovnicemi x = Acos ωt, y = B sin ωt, kde A > B > 0. Ukažte, že tato trajektorie je elipsa.
Obrázek pro představu vypadá takto:

Jak mám prosím ukázat, že se jedná o elipsu? Nesouvisí to stím, že elipsa ja vlastně kružnice, kde A = B a sin a cos je pomocí jednotkové kružnice definován?

Pavel Brožek · 21. 03. 2012 00:12

↑ darkmagic:

A jak máte elipsu definovanou? Pokud by stačilo ukázat, že ty body splňují $\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ , tak je to celkem triviální :-).

darkmagic · 21. 03. 2012 08:24

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, já ti neřeknu, jak máme definovanou elipsu, protože jí tady nikdo nedefinoval. Jen se předpokládá, že každej ví, co to znamená, že máme elipsu..

zdenek1 · 21. 03. 2012 09:30

↑ darkmagic:
$\begin{cases}x=A\cos\omega t\\y=B\sin\omega t\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac xA=\cos\omega t\\ \frac yB=\sin\omega t\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(\frac xA\right)^2=\cos^2\omega t\\ \left(\frac yB\right)^2=\sin^2\omega t\end{cases}$ a sečíst

$\left(\frac xA\right)^2+\left(\frac yB\right)^2=\cos^2\omega t+\sin^2\omega t=1$

Pavel Brožek

↑ Pavel Brožek:

Pokud to každej ví, tak já třeba vím, že parametrické rovnice, které jsi napsal, popisují elipsu. Takže jsem nic neudělal a přitom dokázal, že to je elipsa.

Důkaz bude pro různé definice různý. Kdybys např. vzal definici, že to je množina bodů v rovině, pro které součet vzdáleností od dvou ohnisek bude stejný, tak by důkaz byl asi o dost komplikovanější než to, co napsal Zdeněk.

Honzc · 21. 03. 2012 10:17 — Editoval Honzc (21. 03. 2012 10:19)

↑ Pavel Brožek:
Já si myslím, že zadání je jasné.
Parametrické rovnice říkají:
$x=A\cos\omega t$
$y=B\sin\omega t$ $A>B>0$
Jednoduchou substitucí $\omega t=s$ dostaneme parametrické rovnice elipsy (dokonce se středem v počátku souřadnic)