Matematické Fórum

Marten999 · 21. 03. 2012 22:14

Dobrý den,

hledám nějakou posloupnost takovou, která bude mít nekonečně spočetně mnoho hromadných bodů. Myslím, že by to mohlo být třeba něco jako a.n = 1/n, kde n budou Q čísla, ale nejsem si tím jistý.

Myslíte, že by to tak mohlo být?? Předem Vám děkuji za radu! :-)

S pozdravem
Martin

vanok · 21. 03. 2012 22:31 — Editoval vanok (22. 03. 2012 14:31)

Ahoj ↑ Marten999:;
vysetri hromadne body testo postupnosti

$x_n= \sin (\frac 1n)$ (n>0)

Edit: ako nas upozornil kolega ↑ jakub.solc:, toto "nie je dobra" postupnost, ale stoji za to aby sme si na nej osviezili myslienky.

Marten999 · 21. 03. 2012 22:42

↑ vanok:

Ahoj, díky za reakci. No tak to by měly být, chápu-li definici hromadného bodu a umím-li ji aplikovat, všechna n, ne??

vanok · 21. 03. 2012 23:38 — Editoval vanok (22. 03. 2012 14:29)

↑ Marten999:,
hromadny bod ma vo svojom okoli vzdy nekoncne vela bodov z postupnosti.
Toto mi napadlo, pretoze mnozina hromadnych bodov mnoziny $\{\sin x| x\in R \}$ je uzavreny interval $[-1; 1]$
Tak sa mi zda pravdepodobne, ze ta postupnost co som napisal ma nekonecne vela hromadnych bodov, ale o dokaze som nerozmyslal zatial.
Edit:( upravene vdaka poznamke kolegu ↑ jakub.solc:,)
ten dokaz je mozno uzitocne najst na internete napriklad
.

Ak mi napadni nejaka ina postupnost ( z jednoduchsim dokazom), dam ti vediet

Marten999 · 21. 03. 2012 23:41

↑ vanok:
Jojo, děkuji... :-) Myslím, že by to tak asi být mělo. :-)

vanok · 22. 03. 2012 00:00 — Editoval vanok (22. 03. 2012 00:06)

↑ Marten999:,
napadlo ma ze postupnost , napriklad
$x_n= \cos (n)$ by sa iste lahsie vysetrovala
lebo vieme toto

Groupa $G = Z+2 \pi Z$ .Akoze $\pi \notin Q$ mame, ze $G$ je husta mnozina v $R$

http://cs.wikipedia.org/wiki/Hust%C3%A1_mno%C5%BEina

Marten999 · 22. 03. 2012 00:04

↑ vanok:
Možná trochu. :-) A musí být $n\subset \mathbb{N}$ , aby jich bylo spočetně nekonečně mnoho, protože pro $\mathbb{R}$ by jich bylo nespočetně nekonečně mnoho...

vanok · 22. 03. 2012 00:09

↑ Marten999:,
doplnil som moj predosly prispevok.
Skus pouzit tu vlasnost hustoty.

Marten999 · 22. 03. 2012 00:17

↑ vanok:
Whou, tomu moc nerozumím... ještě jsme grupy neprobírali...

vanok · 22. 03. 2012 00:23

↑ Marten999:,
v totmo pripade to znamena ze v $G = Z+2 \pi Z$ ma prvky co su blizke k hocijakemu realnemu cislu.

Ale ak ste nevideli vela teorie skus nieco urobit v tom duchu ako som uz vysie pisal... ze ukazes pre nejake cislo ze je to hromadny bod ....a potom poznamenas, ze sa ti zda ze podobne to funguje aj pre ine cisla. ( to zavisi na akej urovni studia si teraz)

Dobru noc

jakub.solc

Myslím, že $x_n= \sin (\frac 1n)$ jde k nule. To je jediný hromadný bod pro n přirozené, viz tabulková limita pro sin x / x (u nuly).

Co takhle třeba poskládat posloupnost z bloků:
$\frac11, \qquad \frac12, \ \frac22, \qquad \frac1{2^2}, \ \frac2{2^2}, \ \frac3{2^2}, \ \frac4{2^2}, \qquad \dots \ , \qquad \frac1{2^k}, \ \dots \ , \frac{2^k}{2^k}, \qquad \dots$

Vzhledem k tomu, že k-tý blok je vždy dlouhý 2^k, dá se spočítat, že začátek (k+1)-tého bloku má index 2^{k}, takže se dokonce docela snadno dá najít obecné vyjádření n-tého členu.

Přitom hromadné body jsou právě všechna dyadická čísla (s jmenovatelem 2^k) mezi 0 a 1 (bez nuly).
Vtip je v tom, že v každém dalším bloku se všechna "známá" čísla zopakují.

Zkus si podobným způsobem najít svou posloupnost, která vyčerpá všechna racionální čísla mezi 0 a 1.

Jinak mimochodem taky by stačilo seřadit všechna rac. čísla a vzít je modulo 1.

vanok · 22. 03. 2012 14:26

↑ jakub.solc:,
Ahoj, tu pises

Myslím, že $x_n= \sin (\frac 1n)$ jde k nule.

.
A mas pravdu, a da sa to aj jednoduchsie dokazat ako pises.

Co som vysie pisal, bola len pracovna myslienka... co sa oplatila vyskusat.
A preto som, potm dal "dobru" postupnost "cos(n)", ina dobra postupnost je napriklad "sin(n)" aj ked este chyba kompletny dokaz (ktory nie je az taky neznamy)
A dnes ma napadla ina otazka: Ako vytvorit postupnosti co maju 2; 3; 4; 5...;
hromadnych bodov ( tiez mam na to odpoved.....ale necham to tu hladat aj inym)

vanok · 25. 03. 2012 16:54 — Editoval vanok (25. 03. 2012 18:52)

Poznamka: Ak hustota v $\mathbb{R}$ , grupy $G = {p\theta + 2q\pi | p, q in \mathbb{Z} }$ kde $\frac {\pi}{\theta}$ je irationalne, uzitocnej v dokaze, ze $(\cos(n))$ ma nekonecne vela hromadnych bodov, napiste tu.

Marten999 · 25. 03. 2012 17:56

Tomuto už bohužel nerozumím... tak daleko nejsem. Šlo mi hlavně o to, jak by taková posloupnost vypadala.

Děkuji za odpovědi!! :-)

vanok · 25. 03. 2012 18:58

↑ Marten999:
Dobre, tak to dam do najkrajsich teorem, lebo ten dokaz je pekny.

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2012 22:14

Posloupnost a hromadné body

#2 21. 03. 2012 22:31 — Editoval vanok (22. 03. 2012 14:31)

Re: Posloupnost a hromadné body

#3 21. 03. 2012 22:42

Re: Posloupnost a hromadné body

#4 21. 03. 2012 23:38 — Editoval vanok (22. 03. 2012 14:29)

Re: Posloupnost a hromadné body

#5 21. 03. 2012 23:41

Re: Posloupnost a hromadné body

#6 22. 03. 2012 00:00 — Editoval vanok (22. 03. 2012 00:06)

Re: Posloupnost a hromadné body

#7 22. 03. 2012 00:04

Re: Posloupnost a hromadné body

#8 22. 03. 2012 00:09

Re: Posloupnost a hromadné body

#9 22. 03. 2012 00:17

Re: Posloupnost a hromadné body

#10 22. 03. 2012 00:23

Re: Posloupnost a hromadné body

#11 22. 03. 2012 01:26 — Editoval jakub.solc (22. 03. 2012 12:03)

Re: Posloupnost a hromadné body

#12 22. 03. 2012 14:26

Re: Posloupnost a hromadné body

#13 25. 03. 2012 16:54 — Editoval vanok (25. 03. 2012 18:52)

Re: Posloupnost a hromadné body

#14 25. 03. 2012 17:56

Re: Posloupnost a hromadné body

#15 25. 03. 2012 18:58

Re: Posloupnost a hromadné body

Zápatí