Matematické Fórum

gigo · 15. 03. 2012 02:18

zdravím
pomocí nejmenších čtverců proložit kvadratickou křivku body v $\mathbb R^2$ $(0;1)^T,(1;2)^T,(2;1)^T$
kvadratická křivka má rovnici $y=ax^2+bx+c$
a teď se sestaví rovnice
odkud dostanu z vektor pravých stran a vektory levých stran $a_1,a_2,a_3$
a pak sestavím matici
$\omega(a_1,a_1)$ $\omega(a_1,a_2)$ $\omega(a_1,a_3)$ $\omega(a_1,z)$
$\omega(a_2,a_1)$ $\omega(a_2,a_2)$ $\omega(a_2,a_3)$ $\omega(a_2,z)$
$\omega(a_3,a_1)$ $\omega(a_3,a_2)$ $\omega(a_3,a_3)$ $\omega(a_3,z)$
z níž se spočte a,b,c
chápu to správně?
nebo je to jinak?
děkuji

Rumburak · 15. 03. 2012 09:39

Ahoj.
Metoda nejmenších čtverců je minimalisační metoda. Kde máš ony "čtverce", které minimalisuješ ?
(Je možné, že to nakonec povede na nějakou práci s maticí, ale nepředbíhejme. Spousta lidí hledá na úlohu "kuchařský recept",
ale to je špatně - metodě je především potřeba rozumět od základů).

gigo · 16. 03. 2012 01:21

↑ Rumburak:
taky mě napadlo za x a y dosadit ty souřadnice ale není to naky jednoduchy?

Rumburak

↑ gigo:
Máme-li body $X_i = [x_i, y_i] , i = 1, 2, ..., n$ , jimiž chceme proložit (optimálně ve smyslu metody nejmenších čtverců) křivku
popsanou rovnicí $y = f(x)$ , kde v našem případě $f(x) := ax^2 + bx +c$ s neznámými koeficienty $a, b, c$ , pak sestrojíme
součet $F(a,b,c) := \sum_{i=1}^n |f(x_i) - y_i|^2$ a hodnoty čísel $a, b, c$ hledáme tak, aby minimalisovaly funkci $F$ .

gigo · 22. 03. 2012 00:15 — Editoval gigo (22. 03. 2012 00:35)

↑ Rumburak:
rozumím tomu návodu tak že tedy bude
f(x1)=c
f(x2)=a+b+c
f(x3)=4a+2b+c

a tedy $F(a,b,c)=|{(c-1)^2}|+|{(a+b+c-2)^2}|+|{(4a+2b+c-1)^2}|$

nebo to interpretuju nesprávně?

a pokud ano tak pak abych minimalizoval tak dostanu
c=1
a+b+c=2
4a+2b+c=1
?

gigo · 22. 03. 2012 10:35

a nebo mám udělat tohle a dávat ty ikska na čtvrtou třetí.. a tak?

Aproximace parabolou
Zadané hodnoty lze aproximovat parabolou (kvadratickou funkcí, polynomem druhého řádu) s rovnicí . Optimální parametry získáme opět řešením normální soustavy rovnic
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c … 7f8cd9.png
Proložení bodů parabolou je lineární regresí kvadratické funkce (kvadratického modelu), zejména ve starší literatuře se můžeme setkat i s pojmem kvadratická regrese.

Rumburak

↑ gigo:
Tato metoda (příspěvek #5) je správná. Rovnice

c=1
a+b+c=2
4a+2b+c=1

k zajištění minimaliace funkce $F(a,b,c) := \sum_{i=1}^n |f(x_i) - y_i|^2$ čili $F(a,b,c) := \sum_{i=1}^n (f(x_i) - y_i)^2$
(jsme v oboru reélných čísel) jsou zde zřejmé, kdyby tomu tak (u jinak zadané úlohy) nebylo, museli bychom minimum funkce F
hledat metodami diferenciálního počtu funkcí více proměnných, tedy pomocí rovnic $\frac{\partial F}{\partial a} = 0 , ...$ atd. , jak praví teorie.

Řešení naší úlohy by mělo vyjít tak, že na výsledné parabole budou všechny 3 body ležet (protože jejich počet je 3 a neleží v přímce).

Té metodě popsané v příspěvku #6 prozatím nerozumím, bylo by potřeba se seznámit s celým textem, z něhož je to vytrženo.

Znovu radím: nehledej kuchařské recepty, ale snaž se porozumět principu a když toto se Ti podaří, pak bude jednoduché i stanovit
správný postup.

jakub.solc · 22. 03. 2012 13:18

Ta metoda v #6 je v podstatě jen rozepsaná soustava z #1, kde omega je patrně označení skalárního součinu. Báze prostoru (ta "áčka"), kde se hledá aproximace, je 1, x, x^2, x^3 atd, protože aproximaci hledáme ve tvaru lin. kombinace c.1 + b.x + a.x^2 + ...

V případě, že počet neznámých parametrů je stejný jako počet rovnic, je řešení přesně určeno a použití té soustavy z #6 je jako brát kanón na vrabce. To by mělo smysl až pro přeurčené soustavy (i když zde to samozřejmě také povede k soustavě z bodu #5).

vanok · 22. 03. 2012 13:41

Mala poznamka:
Akoze vieme, ze ze kvadriky su urcene tromy bodmy.
tak staci vyriesit linearny system, ktory mozme vidiet tu ↑ gigo:
c=1
a+b+c=2
4a+2b+c=1
Co urci hladanu krivku... a ine je asi zbytocna unava.

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2012 02:18

nejmenší čtverce

#2 15. 03. 2012 09:39

Re: nejmenší čtverce

#3 16. 03. 2012 01:21

Re: nejmenší čtverce

#4 16. 03. 2012 09:32 — Editoval Rumburak (16. 03. 2012 09:33)

Re: nejmenší čtverce

#5 22. 03. 2012 00:15 — Editoval gigo (22. 03. 2012 00:35)

Re: nejmenší čtverce

#6 22. 03. 2012 10:35

Re: nejmenší čtverce

#7 22. 03. 2012 11:42 — Editoval Rumburak (22. 03. 2012 13:37)

Re: nejmenší čtverce

#8 22. 03. 2012 13:18

Re: nejmenší čtverce

#9 22. 03. 2012 13:41

Re: nejmenší čtverce

Zápatí