Matematické Fórum

doby · 22. 03. 2012 22:47

Mám řešit následující integrál:
$\int{\frac{1}{x^2+2+2*\sqrt{x^2+1}}}dx$
pomocí substituce:
$\sqrt{x^2+1} = x + t$

zkoušel jsem všemožné akrobatické kousky, ale k výsledku to nevede, poradíte prosím někdo?
(případně klidně i jinou substituci, která by vedla k řešení)

vanok · 22. 03. 2012 23:15

↑ doby:
POZNAMKA : pozdrav to je slusnost aj vo 21° storoci.
(hovori sa co ta nenaucili doma do 6 rokov potom je neskoro)

Metoda: 1° etapa: ako prve by som sa zbavil odmocniny v menovateli

jakub.solc · 22. 03. 2012 23:36

Možností je víc: x=tg z, x=sinh z, ...

Ale ta původní rada je podle mě dobrá. To nemůže nevyjít.

Dej substituci na druhou, zbav se x^2, vyjádři x= ... a potom dx=...

Ten začátek jmenovatele je vlastně x^2 + 1 + 1.

A máš racionální funkci.

doby · 24. 03. 2012 00:33

díky za tipy, ale asi pořád dělám něco špatně

racionalizovat není problém:
$\frac{1}{x^2+2+2*\sqrt{x^2+1}}$
rozšířím tímto
$\frac{x^2+2-2*\sqrt{x^2+1}}{x^2+2-2*\sqrt{x^2+1}}$
a dostanu (po úpravě)
$\frac{x^2+2-2*\sqrt{x^2+1}}{x^4}$
tohle jde sice rozdělit na tři samostatné integrály, ale s tím třetím je pořád problém:
$\int{\frac{2*\sqrt{x^2+1}}{x^4}}$

při práci se substitucí samotnou
$\sqrt{x^2+1} = x + t$
dám na druhou:
$x^2+1 = x^2 +2xt + t^2$
vyjádřím x:
$x = \frac{1-t^2}{2t}$
následuje derivace, takže
$dx = -\frac{t^2+1}{2t^2} dt$

vypadá to pěkně, ale když jsem se to snažil dosadit (a poupravovat) do toho integrálu (ať už toho prvního, nebo toho co zbyl po racionalizaci a rozdělení), zlomek se nikdy nezjednodušil tak, aby šel ručně zintegrovat..

jakub.solc

Když se přidržíme původní Eulerovy substituce, tak je to opravdu dost nepříjemné.

Nevěřil jsem, zkusil jsem, viděl jsem:

1. Původní integrál - neroznásobovat, držet u sebe t^2+1, protože po čase vyjde ve jmenovateli kvadrát, kde je tento výraz jedním členem.
Po čase se dá dostat k integrálu

$\usepackage{color}\definecolor{gr}{rgb}{0.26,0.26,0.25}\colorbox{gr}{\color{white} $\displaystyle\int {-(t^2+1) {\rm d}t \over (t^2+2)^2 t}.$}$

2. Co se týče toho třetího mezivýsledku, došel jsem k

$\usepackage{color}\definecolor{gr}{rgb}{0.26,0.26,0.25}\colorbox{gr}{\color{white} $\displaystyle\int {-8t^2(t^2+1) {\rm d}t \over (1-t)^4 (1+t)^4},$}$
což se dá trochu vylepšit substitucí u=t-1. Pokračování pracné, ale standardní, na to už nemám elán.

3. Platí zásada: Když jedna substituce zlobí, zkusíme jinou.

4. Co třeba x = sinh t ??? Možná bude potřeba odvodit si příslušné substituční vzorečky. Na to stačí znát derivaci sinh, cosh a fakt, že sinh^2 + 1 = cosh^2. Jinak je to stejné jako u sin, cos.

4'. Přestože se dá pokračovat po této substituci standardně a na výpočet stačí 3/4 řádku, dovolil bych si upozornit na zajímavou alternativu při dalším postupu.

Platí

$\let\ch=\cosh\let\sh=\sinh\usepackage{color}\definecolor{gr}{rgb}{0.26,0.26,0.25}\colorbox{gr}{\color{white} $\displaystyle-\int { \ch^2 t \over \sh^4 t} {\,\rm d}t = \int \frac{\ch^2 t}{\sh^2 t} \frac{-1 }{\sh^2 t} {\,\rm d}t = \int u^2 \, {\rm d}u $}$

při jaké substituci? ...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Já jsem ji dal poprvé v životě.

doby · 24. 03. 2012 16:17

díky moc za rady, substituce x = sinh t a alternativa při postupu pomohly

anar · 25. 03. 2012 15:29

Ahoj. Potřeboval bych pomoc pří vypočtu příkladu pomoci druhé Substituční metody.Příklad: $\int_{\frac{\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}}}^{}dx$ Prostudovala jsem hromadu materialů,a celkový princi jsem pochopila, ale nemůžu příjit na to, co mám zvolit jako substituci? Děkují za pomoc.

Tomas.P · 25. 03. 2012 16:38

↑ anar:
$t=x-1$ , $\frac{dt}{dx}=1$

anar · 25. 03. 2012 16:46

↑ Tomas.P:
Moc děkují. Na to jednoduché se hrozně špatně přichází. :D

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2012 22:47

integrace substitucí

#2 22. 03. 2012 23:15

Re: integrace substitucí

#3 22. 03. 2012 23:36

Re: integrace substitucí

#4 24. 03. 2012 00:33

Re: integrace substitucí

#5 24. 03. 2012 12:09 — Editoval jakub.solc (24. 03. 2012 12:29)

Re: integrace substitucí

#6 24. 03. 2012 16:17

Re: integrace substitucí

#7 25. 03. 2012 15:29

Re: integrace substitucí

#8 25. 03. 2012 16:38

Re: integrace substitucí

#9 25. 03. 2012 16:46

Re: integrace substitucí

Zápatí