Matematické Fórum

Pavel · 15. 10. 2008 10:44

$\lim_{x\to 1^+}\,(\tan\,\frac{\pi x}{2}+\tan\,\frac{\pi}{2x})$

Pavel Brožek

Po dlouhém počítání jsem došel k výsledku $-\frac{2}{\pi}$ , z grafu to ale spíš vypadá na $\frac{2}{\pi}$ , takže se mi asi někde ztratilo znaménko. Ten postup je velmi dlouhý (2x l'Hospital), takže ho sem nebudu vypisovat, snad najdu lepší postup, který bych sem mohl dát.

Edit: Jiným postupem - použitím Taylorova rozvoje - mi to už vyšlo $\frac{2}{\pi}$ . Bohužel je to stále moc dlouhé :-)

Pavel Brožek

Pro jednoduchost spočtu limitu, limita zprava jí pak bude rovna. Zavedu substituci $y=x-1$ .

$\lim_{x\to 1}\,(\tan\,\frac{\pi x}{2}+\tan\,\frac{\pi}{2x})=\lim_{y\to 0}\,$\tan\,\(\frac{\pi}{2}(1+y)$+\tan\,$\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1+y}$\)=\lim_{y\to 0}\,$\frac{\sin\,\(\frac{\pi}{2}(1+y)$}{\cos\,$\frac{\pi}{2}(1+y)$}+\frac{\sin\,$\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1+y}$}{\cos\,$\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1+y}$}\)$

Snadno spočteme následující Taylorovy rozvoje:

$\sin\,$\frac{\pi}{2}(1+y)$=1-\frac{\pi^2}{8}y^2+o(y^2)\nl \cos\,$\frac{\pi}{2}(1+y)$=-\frac{\pi}{2}y+o(y^2)\nl \frac{1}{1+y}=1-y+y^2+o(y^2)\nl \sin\,$\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1+y}$=\sin\,$\frac{\pi}{2}\cdot(1-y+y^2+o(y^2))$=1-\frac{\pi^2}{8}y^2+o(y^2)\nl \cos\,$\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1+y}$=\cos\,$\frac{\pi}{2}\cdot(1-y+y^2+o(y^2))$=\frac{\pi}{2}y-\frac{\pi}{2}y^2+o(y^2)\nl$

Dosadíme do limity

$\lim_{x\to 1}\,(\tan\,\frac{\pi x}{2}+\tan\,\frac{\pi}{2x})=\lim_{y\to 0}\,$\frac{1-\frac{\pi^2}{8}y^2+o(y^2)}{-\frac{\pi}{2}y+o(y^2)}+\frac{1-\frac{\pi^2}{8}y^2+o(y^2)}{\frac{\pi}{2}y-\frac{\pi}{2}y^2+o(y^2)}$=\lim_{y\to 0}\,$1-\frac{\pi^2}{8}y^2+o(y^2)$\cdot$\frac{1}{-\frac{\pi}{2}y+o(y^2)}+\frac{1}{\frac{\pi}{2}y-\frac{\pi}{2}y^2+o(y^2)}$=\nl =\lim_{y\to 0}\,$1-\frac{\pi^2}{8}y^2+o(y^2)$\cdot\frac{$\frac{\pi}{2}y-\frac{\pi}{2}y^2+o(y^2)$+$-\frac{\pi}{2}y+o(y^2)$}{-\frac{\pi^2}{4}y^2+o(y^2)} =\lim_{y\to 0}\,\frac{-\frac{\pi}{2}y^2+o(y^2)}{-\frac{\pi^2}{4}y^2+o(y^2)} =\lim_{y\to 0}\,\frac{-\frac{\pi}{2}+\frac{o(y^2)}{y^2}}{-\frac{\pi^2}{4}+\frac{o(y^2)}{y^2}}=\nl =\frac{-\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi^2}{4}}=\frac{2}{\pi}$

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2008 10:44

Limita z Beskyd

#2 15. 10. 2008 17:40 — Editoval BrozekP (15. 10. 2008 23:02)

Re: Limita z Beskyd

#3 15. 10. 2008 23:56 — Editoval BrozekP (16. 10. 2008 00:01)

Re: Limita z Beskyd

Zápatí