Matematické Fórum

Jirda · 23. 03. 2012 20:01

Zdravím,

rád bych se zeptal, zda postup, kdy si dosadím jednu z proměnných, pakliže to není třeba nekonečno, a pak dokončím výpočet limity s pouze jednou proměnnou, je ekvivalentní k postupu, kdy celou limity prvně upravím tak, abych se dostal k nějakému jednoduchému tvaru a až pak dosadím obě proměnné.

Vím, že se tato metoda někdy využívá, když se dokazuje, že limita neexistuje. Prvně se dosadí třeba x, pak y a v druhém případě y a nakonec až x. Když se výsledky nerovnaj, limita neexistuje.

Uvedu ještě příklad:
lim ( x^2 + y(y-1)^2 )/( x^2 + y(y-1)^2 )
(x,y) -> (0,1)

Dle mého postupu:
Dosadím například x, vykrátím ten člen v závorce a zbyde y. Proto je výsledkem limity 1.
Kdybych to zkusil naopak, Tak dosadím y, pak dostanu x^2/x^2 a to je 1.

Zajimá mě tedy, zda je možné tuto metodu použít, zda je korektní, pakliže ze zadání vím, že limita existuje.

Díky za odpověď.

jardofpr

ahoj, ↑ Jirda:

predpokladám, že počítate limity funkcií, ktoré sú zobrazeniami medzi metrickými priestormi

môj pohľad je taký:
ak vieš, že existuje $\exists A\in \mathbb{R}:\lim_{[x,y]\to[x_{0},y_{0}]}f(x) = A \,,\, |A| < \infty$

tak vieš že pre ľubovoľné $\varepsilon$ kladné existuje také $\delta$ kladné,
že pre všetky body $[x,y]$ ktoré ležia v kruhu so stredom v $[x_{0},y_{0}]$ a s polomerom $\delta$ platí,
že vzdialenosť ich obrazov od bodu $A$ je menšia ako $\varepsilon$

to sa samozrejme týka aj bodov, ktoré sú prienikom tohto kruhu a priamok $x=x_{0}$ a $y=y_{0}$

takže keď "prídeš" k tým bodom po týchto priamkach, je to ok

dá sa to však naozaj len v situáciách keď vieš že tá limita existuje (bavíme sa o vlastných limitách)

(polomer a vzdialenosť je myslená v zmysle metriky zadanej na priestoroch $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}$ )