Matematické Fórum

FlyingMonkey

Ahoj, ahoj :)

mám tu trochu zapeklitý příklad, znovu z maturity ...

a= 3cm
b=5 cm
c = 7cm

a mám rozhodnout, Jaký je součet velikostí jeho dvou nejmenších vnitřních úhlů?
a) 22°
b) 38°
c) 60°
d) 105°
e) jiný součet

Pokusím se moje úvahy co nejvíc zkrátit, abych tady z toho neudělal čtenářský klub :))

1) původní řešitel tu má náčrt s tím, že vc rozdělí stranu c na půl, to je podle mě chybná úvaha - trojúhelník by musel být alespoň rovnoramenný, aby toto platilo ... Jdu na to teda jinak..

Možná odvážná a chybná úvaha, prosím o kontrolu hlavně tohoto:

pythagorova věta říká a^2 + b^2 = c^2 v tom případě platí, že u C je pravý úhel. pokud a^2 + b^2 > c^2 jde o ostrý úhel u C (představa) pro < je u C tupý ...

po téhle geniální úvaze :D ... dostávám pro konkrétní hodnoty: $\sqrt{34}<49$ takže .... u C je tupý úhel.
což nás vede k odpovědím a-b-c-e...

Tady už nevím, jak to přesně určit, řekl bych zlatou střední cestu B, protože a) se mi zdá příliš málo a 30° zase příliš moc ... Ale potvrdit to nedokážu, než tvrzením, že to v tom "vidím" - což může být samozřejmě špatně ..

Uf, uf ... zase slohovka -_-' omlouvám se :) A díky za pomoc ^^

Mějte se fajn,
F.M.

janca361 · 23. 03. 2012 20:36

↑ FlyingMonkey:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

FlyingMonkey · 23. 03. 2012 20:39

↑ janca361:

Dobře, to dává smysl, ale takhle jsem se cítil jako velký matematik 8) :D (sranda) ^^ ...

Jak pak tedy zjistím, prosím, tu přesnou hodnotu těch úhlů? Respektive tomu tvrzení - "Proti větší straně trojúhelníka leží větší vnitřní úhel a naopak, proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana." vyhovuje více odpovědí, že?

Díky za radu :)

elypsa · 23. 03. 2012 20:40 — Editoval elypsa (23. 03. 2012 20:43)

Možná jsem něco přehlídnul, tak mě když tak oprav, ale nestačí využít cos. věty a když to nakombinuješ s tím, co tu píše Janča, tak si krásně ušetříš čas..
Jinak když už budeš mít jeden úhel, je lepší přejít na sinovu větu, čímž opět ušetříš trochu času.

Jinak taky zdravím!

FlyingMonkey · 23. 03. 2012 20:46

Ne, nepřehlídl, máš pravdu :) Díky ... Když ty věty neumím, tak mě to netrkne no ... Jinak přesné hodnoty úhlu asi takhle z trojúhelníku nevypočítáš co? ... Já mám k větám obecně odpor, protože se mi to nechce pamatovat, tak se to vždycky snažím řešit jinak :D

Úvahou se dostaneš přibližně, kam já ... right?

Díky

elypsa · 23. 03. 2012 20:55 — Editoval elypsa (23. 03. 2012 20:58)

Vypočítáš :) mrkni jak ty věty zní, je to dosazování do vzorce nic víc. Případně internet toho bude plný.
Jinak tyhle dvě věty se dají lehce zapamatovat a sinová se hodí na počítání poloměru kružnice opsané(jinak se to počítá docela zdlouhavě přes obvodový a středový úhel a to je e e :)

A cosinova věta se dá lehce zapamatovat jelikož tam je část věty pythágorové, což mě přivádí na otázku jak se tam dostala :) jdu googlovat..

http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%2 … 4%9Bta.pdf

FlyingMonkey

Jop jasné ... já to napsal blbě ... :)) Myslel jsem to tak, že to nevypočítáš bez těch vět ...

Pokud něco najdeš, můžeš mi to hodit do zpráv pls? tenhle topic už zavírám, abych nezlobil ty nahoře :D ... Celkem by mě to zajímalo a třeba za tím pak něco uvidím :P
Jinak ofc teď už to dám ... a díky za tip :)) A že prej matematik začátečník :D ... ~~

Edit: ok, jsi rychlejší než jsem čekal :D ... thx

Honzc · 24. 03. 2012 08:30

↑ FlyingMonkey:
Co takto:
Prodlužme si stranu a a z vrcholu A na ni spusťme kolmici. Dostaneme bod C'.
Ozna4me CC'=x, AC'=y, úhel C'CA=gama'
Pak platí:
$x^{2}+y^{2}=25\\ (3+x)^{2}+y^{2}=49\\ 9+6x+25=49 \\ x=\frac{5}{2}$
Pak jednoduše
$\cos \gamma '=\cos (\alpha +\beta )=\frac{\frac{5}{2}}{5}=\frac{1}{2} \\ \alpha +\beta =60^\circ$

FlyingMonkey · 24. 03. 2012 10:38

Hezky pěkně!! O_O

Koukám na to jako vejr, to je fakt super nápad, kéž by mě někdy něco podobného napadlo .. :D

Díky, díky!

Dawidx · 11. 04. 2012 18:38

Trojúhelník ale není pravoúhlý, s goniometrickými funkcemi se nedá počítat

Honzc · 12. 04. 2012 05:58 — Editoval Honzc (12. 04. 2012 06:00)

↑ Dawidx:
To víš, že není pravoúhlý, ale my jsme si z něj pravoúhlý trojúhelník ACC' udělali a využili faktu, že součet dvou úhlů v jakémkoliv trojúhelníku je stejný jako doplňkový úhel třetího.

Poznámka
S goniometrickými funkcemi se dá počítat v jakémkoliv trojúhelníku. (co třeba sinová nebo kosinová věta)

Derecho · 15. 04. 2012 10:51

Kosinovou větou se to dá vyřešit také. Dokonce si myslím, že to takto bylo původně myšleno, přestože předchozí řešení je elegantní.

$\alpha +\beta +\gamma = 180^\circ \Rightarrow \alpha +\beta =180^\circ -\gamma$

Tedy stačí spočítat úhel $\gamma$ pomocí kos. věty takto:
$c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma$
$49=9+25-30\cos \gamma$
$\cos \gamma =-0,5$ $\Rightarrow \gamma =120^\circ \Rightarrow \alpha +\beta =180^\circ -120^\circ =60^\circ$