Matematické Fórum

Andrejka3

Dobrý den.
Prosím o pomoc s příkladem:

Definujme $\{a_n\}_{n=0}^{\infty},\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ :
$a_0=2$ , $b_0=4$

$a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\;, \quad b_{n+1}=\frac{2a_{n+1}b_n}{a_{n+1}+b_n}$ (1)

Dokaž, že obě posloupnosti konvergují k $\pi$ . Najdi souvislost s pravidelnými mnohoúhelníky opsanými a vepsanými jednotkové kružnici.
Prosím, nevíte, jak to dostat?

Poznámky
Označíme-li $G(a,b)\text{ ,resp\@. } H(a,b)$ geometrický, resp. harmonický průměr (kladných) čísel $a,b$ , pak předpis (1) lze zapsat jako

$a_{n+1}=G(a_n,b_n)\;, \quad b_{n+1}=H(a_{n+1},b_n) \;.$ (2)

Moc často nevidím užití geometrického průměru. Vybavuji si jen příklady z termodynamiky - úlohu o vyrovnání teplot dvou stejných těles za podmínky využití spontánnosti jevu pro vykonání maximální práce. Harmonický průměr vidím v akci poprvé.
Vezmeme si $n$ -úhelník opsaný, resp. vepsaný jednotkové kružnici. Pak posloupnost podílů půlek obvodů n-úhelníků a poloměru kružnice konverguje shora, resp. zdola k $\pi$ . Spočítám stranu takového $n$ -úhelníku. Vychází $2\sin\:{\frac{\pi}{n}} \text{ , resp\@. } 2\:\text{tg}\:{\frac{\pi}{n}}$ . Pak dostaneme posloupnosti s předpisem

$n \sin \: {\frac{\pi}{n}}\;,\quad n\: \text{tg}\:\frac{\pi}{n}\;.$ (3)

Problém je, že neumím vyjádřit sinus nebo tangens úhlu $\pi/(n+1)$ , pokud znám sinus nebo tangens úhlu $\pi/n$ . Mohu ale vybrat podposloupnost $2^m$ -úhelníků, kde to udělat jde. Ale pořád tím nedostanu posloupnost ze zadání.

Tuto úlohu už jste určitě někdo spočítal. Prosím o radu, jak dostat posloupnosti ze zadání.
PS google dal např. toto, ale já se v tom nevyznám (spíš mě to rozčiluje).
Dík, A.

vanok · 18. 03. 2012 15:03 — Editoval vanok (20. 03. 2012 12:54)

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Je znamych ela postupnosti na tuto temu.
Ten tvoj osobne nepoznam.
Tak na zaciatok, len mala poznamka:
Dosadenie $a_{n+1}$ v
$b_{n+1}=\frac{2a_{n+1}b_n}{a_{n+1}+b_n}$
nam da
$b_{n+1}=\frac{2b_n\sqrt {a_nb_n}}{\sqrt {a_n b_n}+b_n}= \frac{2b_n\sqrt {a_n}}{\sqrt {a_n }+\sqrt{b_n}}$

V niecom sa mi toto vyjadrenie viac paci, lebo je pristupniejsie ist z z $a_n;b_n$ k $a_{n+1};b_{n+1}$

Inac, ako prve, by bolo zaujimave vypocitat niekolko prvych hodnot tych postupnosti, a nast suvis z obvodom mnohouholnikov, ktorym koresponduju.

Andrejka3 · 18. 03. 2012 16:27

↑ vanok:
Děkuji za odpověď. Vydám se navrhovaným směrem. Ozvu se, jak to dopadlo (spíše zítra).

Andrejka3

↑ vanok:
Ještě jednou díky za odpověď. Asi nemám dostatečnou motivaci vyřešit ten příklad.
Pokud bych si vzala $2^m$ -úhelníky, označila poměr jejich obvodu ku průměru $v_m$ u vepsaného a $o_m$ u opsaného kružnici, pak vyjde
$v_m=2^m \sin \frac{\pi}{2^m}\; , \; o_m= 2^m \text{tg }\frac{\pi}{2^m}$ .
Víme, že pro $m=2$ : $\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\;\text{ a }\;\text{tg }\frac{\pi}{4}=1$ . Přes součtové vzorce lze dopočítat, že pro $m \geq 2$
$v_{m+1}=2^{m+1}\sqrt{\frac{o_m-v_m}{2o_m}}$ a $o_{m+1}=2^{m+1}\sqrt{\frac{o_m-v_m}{o_m+v_m}}$ . To jsou "moje" aproximace pi.

Když se podívám na posloupnosti ze zadání, je
$a_0=o_2, \; b_0=v_1$ . Dál to už nesedí.
Nechám to tak být. Budu ale ráda, když se někdo ještě ozve.

edit: hrála jsem si taky s posloupnostmi zadanými, ale nic jsem z toho nevyvodila.

pf · 22. 03. 2012 23:33 — Editoval pf (23. 03. 2012 15:00)

Andrejka3 napsal(a):
Dobrý den.
Prosím o pomoc s příkladem:

Definujme $\{a_n\}_{n=0}^{\infty},\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ :
$a_0=2$ , $b_0=4$

$a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\;, \quad b_{n+1}=\frac{2a_{n+1}b_n}{a_{n+1}+b_n}$ (1)

Dokaž, že obě posloupnosti konvergují k $\pi$ . Najdi souvislost s pravidelnými mnohoúhelníky opsanými a vepsanými jednotkové kružnici.
Prosím, nevíte, jak to dostat?

Při pravidelném rozdělení jednotkové kružnice na $2^{n+2}$ dílů je $a_n$ obsah $2^{n+2}$ -úhelníka vepsaného (dělící body na kružnici jsou vrcholy) a $b_n$ obsah $2^{n+2}$ -úhelníka opsaného (dělící body na kružnici jsou středy stran). Uvedené rekurentní vztahy se snadno odvodí z obsahů trojúhelníků, které při konstrukci vznikají. Limita $\pi$ je pak jasná.

Andrejka3 · 23. 03. 2012 08:36

↑ pf:
Děkuji za objasnění!

Andrejka3

Pro $n \geq 3$ je strana vepsaného n-úhelníku rovna $2\sin\:{\frac{\pi}{n}}$ a výška na trojúhelník zmíněný ↑ kolegou: je $\cos\:{\frac{\pi}{n}}$ , tedy obsah vepsaného n-úhelníku,
$V_n=2\sin\:{\frac{\pi}{n}}\cdot \cos\:{\frac{\pi}{n}}\cdot \frac{1}{2}\cdot n=n\sin\:{\frac{\pi}{n}}\cos\:{\frac{\pi}{n}}$ .
Strana opsaného n-úhelníku je $2\:\text{tg}\:{\frac{\pi}{n}}$ , výška v příslušném trojúhelníku je jednotková a tedy obsah celého n-úhelníku je
$O_n=2\:\text{tg}\:{\frac{\pi}{n}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}\cdot n=n\:\text{tg}\:{\frac{\pi}{n}}$ .
Pak
$V_{2n}=2n\sin\:{\frac{\pi}{2n}}\cos\:{\frac{\pi}{2n}}=n \sin\:{\frac{\pi}{n}}=\sqrt{n\sin\:{\frac{\pi}{n}}\cos\:{\frac{\pi}{n}}\cdot \:\text{tg}\:{\frac{\pi}{n}}}=\sqrt{O_nV_n}$ .
$O_{2n}=2n\:\text{tg}\:{\frac{\pi}{2n}}=2n\frac{\sin\:{\frac{\pi}{2n}}\cos\:{\frac{\pi}{2n}}}{\cos^2\:\frac{\pi}{2n}}=\frac{V_{2n}}{\frac{1+\cos\:{\pi/n}}{2}}=$
$=\frac{V_{2n}\text{ tg}\:\frac{\pi}{n}\;2}{\text{ tg}\:\frac{\pi}{n}+\sin\:\frac{\pi}{n}}\frac{n}{n}=\frac{2V_{2n}O_n}{O_n+2n\sin\:{\frac{\pi}{2n}}\cos\:{\frac{\pi}{2n}}}=\frac{2V_{2n}O_n}{V_{2n}+O_n}$ .

$a_n=V_{2^{n+2}}$
$b_n=O_{2^{n+2}}$
$a_0=V_4=4\sin\:{\frac{\pi}{4}}\cos\:{\frac{\pi}{4}}=2\sin\:\frac{\pi}{2}=2$
$b_0=O_4=4\:\text{tg}\:{\frac{\pi}{4}}=4$ .

Díky za pomoc!
PS Je $n$ -úhelník živý tvor, že se skloňuje úhelníka? Aha! Vzor les?

pf · 23. 03. 2012 14:59

Andrejka3 napsal(a):
PS Je $n$ -úhelník živý tvor, že se skloňuje úhelníka? Aha! Vzor les?

Ano, 2. pád n-úhelníka nebo n-úhelníku, obojí (vzor hrad i les) je správně.

Andrejka3 · 23. 03. 2012 15:02

↑ pf:
Ještě mě napadá,
Archimedes znal součtové vzorce?
Znáte někdo čistě geometrický důkaz součtových vzorců pro sin, cos? Nebo alespoň pro poloviční úhly?

pf · 23. 03. 2012 21:56 — Editoval pf (23. 03. 2012 22:02)

Andrejka3 napsal(a):
Archimedes znal součtové vzorce?
Znáte někdo čistě geometrický důkaz součtových vzorců pro sin, cos? Nebo alespoň pro poloviční úhly?

Archimedes (a samozřejmě nejen on) dobře znal různé vztahy mezi stranami a úhly v trojúhelníku, takže ano - vztahy, které dnes můžeme snadno formulovat jako vzorce pro sinus a kosinus, znal. Geometrický důkaz součtových vzorců jde snadno přes trojúhelníky s vhodnými úhly, něco je např. tady.

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2012 14:10 — Editoval Andrejka3 (18. 03. 2012 14:32)

Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

#2 18. 03. 2012 15:03 — Editoval vanok (20. 03. 2012 12:54)

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

#3 18. 03. 2012 16:27

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

#4 21. 03. 2012 09:56 — Editoval Andrejka3 (21. 03. 2012 09:57)

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

#5 22. 03. 2012 23:33 — Editoval pf (23. 03. 2012 15:00)

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

Andrejka3 napsal(a):

#6 23. 03. 2012 08:36

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

#7 23. 03. 2012 13:17 — Editoval Andrejka3 (23. 03. 2012 22:02)

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

#8 23. 03. 2012 14:59

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

Andrejka3 napsal(a):

#9 23. 03. 2012 15:02

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

#10 23. 03. 2012 21:56 — Editoval pf (23. 03. 2012 22:02)

Re: Archimedes, aproximace pi, mnohouhelniky

Andrejka3 napsal(a):

Zápatí