Matematické Fórum

Skrytý text:
Výsledok je správny. Správne ste sa dostali k rovnici 4. stupňa. Myslím, že tam sa dostala väčšina tých, ktorý túto rovnicu chceli takto riešiť. Problém je, že rovnica 4. stupňa sa nedá veľmi jednoducho vyriešiť. Existuje k tomu algoritmus (explicitný vzorec pre korene by nebol veľmi pekný), ktorý je popísaný na wikipedii. Vy ste v podstate uhádli rozklad toho polynómu 4. stupňa a tým ju vyriešili. Nie je to popravde veľmi všeobecné ani úplne v pohode, ani pekné.

Skrytý text:
Pokúste sa vhodnou substitúciou zmenšiť stupeň rovnice.

Skrytý text:
Hľadajte substitúciu v tvare pre vhodnú konštantu . Takto zmenšíte stupeň rovnice z 6 na 3.

Skrytý text:
Substitúciu hľadajte tak, že rozložte súčin kvadratických polynómov na ľavej strane na súčin lineárnych a skúste sa s tým pohrať.

Skrytý text:



..a tak dál, to už nebudu řešit.

Skrytý text:
Snažíš sa rovnicu upraviť tak, aby si pomocou subsitúcie dostal rovnicu v premennej . Napríklad keď máš riešiť , tak pomcou substitúcie ti stačí vyriešiť . 

Skrytý text:

Trik je v tom, že súčin tých kvadratických polynómov sa dá prepísať tak, aby tá substitúcia bola očividná ;) HINT 3.

Skrytý text:
Postup je dobrý ale výsledok nie. Máte chybne vyriešenú rovnicu .

Skrytý text:


Máme zadanú rovnicu:



Rovnica 6. stupňa sa asi jednoducho dať vyriešiť nebude. Roznásobenie a hádanie koreňov som zavrhol (potom by tá úloha nebola ničím zaujímavá a dala by sa mechanicky ukopať).

Prichádza teda lepší nápad - vhodnou substitúciou snížiť stupeň rovnice. Lenže ako ? Keby som mal zadanú rovnicu napr. takto 

*

tak by som substitúciou vedel rovnicu 6. stupňa previesť na rovnicu 3. stupňa, pri ktorej by sa už prinajhoršom hádali korene (verím, že to nemá príliš nepekné riešenie). Lenže rovnicu v takom peknom tvare nemám.

Napadlo ma, že sa do podobného tvaru dá upraviť. Skúsil som sa lepši pozrieť na kvadratické trojčleny, z ktorých je zložený súčin na ľavej strane. Zistil som, že:





Polynómy majú pekné rozklady. Zaujímavé. O čo sa snažím ?  Upraviť rovnicu tak, aby sa dala použiť substitúcia podobná ako v rovnici *.

Teraz ma napadlo, že možno pôjde vhodne spárovať mnohočleny tak, aby po ich vynásobení v pároch sme dostali kvadratický trojčlen, ktorý má koefieicnt pri rovný . Potom by bolo jasné, že substitúcia prevedie rovnicu na rovnicu 3. stupňa a bude to jednoduchšie.

Keď som vedel, čo chcem, nebolo problém zistiť, že a . Teda . Pôvodná rovnica prejde po spomínanej substitúcií do tvaru .

Použili sme úpravu, ktorá sa dá obrátiť. Je teda jasné, že ak má pôvodná rovnica v premennej "pekné" riešenie, tak ich má aj táto. A to sa bude dať prinajhoršom ukopať hádaním koreňov. To je ale milé to, že žiadne korene hádať nemusíme. Po roznásobení totiž dostaneme:

.

Ďalej ľahko rozložíme aj kvadratický polynóm , teda ľahko určíme, že . Odtiaľ už nie je problém zistiť všetky reálne , ktoré sú riešením pôvodnej rovnice: