Matematické Fórum

ZedChu · 25. 03. 2012 21:00

Zdravím,

Mám zadán integrál $\int_{}^{}\frac{dx}{sin^{5}x}$ , který mám vypočítat pomocí substituce $t= cos x$ .

Pomocí nějakých úprav jsem získal vztah $\int_{}^{}\frac{1}{(1-t^{2})^{3}}dt=\int_{}^{}\frac{1}{t^{6}-3t^{4}+3t^{2}-1}dt$ .

Tuto úpravu jsem si ověřil i v Maple i v MAW. Dále nevím jak takový příklad řešit. Tedy spíše jestli jej jde vyřešit nějak jednoduše bez použití zdlouhavého výpočtu přes parciální zlomky. Nenapadlo mě žádné pravidlo, kterým bych mohl tento integrál vhodně zjednodušit.

Předem děkuji.

pizet · 25. 03. 2012 21:50

↑ ZedChu:

Ahoj!

ZedChu napsal(a):
Nenapadlo mě žádné pravidlo, kterým bych mohl tento integrál vhodně zjednodušit.

Tiež mi nič moc lepšie nenapadlo.

Ak chceš, môžeš skúsiť zintegrovať funkciu

$\frac{1}{(1+t^{2})^{3}}$ ,

ktorá je (zdanlivo) podobná tej tvojej. Pri integrácii sa dá spraviť pekná substitúcia (možno je to vidieť, neviem).

Honzc · 26. 03. 2012 10:04 — Editoval Honzc (26. 03. 2012 13:10)

↑ ZedChu: $\int_{}^{}\frac{1}{\sin ^{5}x}dx=\int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin ^{6}x}dx=\int_{}^{}\frac{\sin x}{(1-\cos ^{2}x)^{3}}dx$
substitucí: $\cos x=t,-\sin x\cdot dx=dt$
dostaneš
$-\int_{}^{}\frac{1}{(1-t^{2})^{3}}dt=-\int_{}^{}\frac{1}{(1-t)^{3}(1+t)^{3}}dt$
a to rozkladem na parciální zlomky

nebo platí rekurentní vzorec:
$\int_{}^{}\frac{dx}{\sin ^{n}x}=-\frac{1}{n-1}\cdot \frac{\cos x}{\sin ^{n-1}x}+\frac{n-2}{n-1}\int_{}^{}\frac{dx}{\sin ^{n-2}x},(n>1)$
$\int_{}^{}\frac{dx}{\sin x}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|=\ln \left|\text{tg}\frac{x}{2}\right|$

ZedChu · 26. 03. 2012 14:46

Rozkladem na parciální zlomky mi právě vyjde 6 rovnic o 6 neznámých, což je velice zdlouhavé při počítání na papíře. V zadání bylo použijte substituci, takže ten rekurentní vzorec použít nemohu. Ale díky za návrhy.

kaja.marik · 26. 03. 2012 16:03

↑ ZedChu:
Ale dve nezname urcim vlastne hned, dosazenim x=1 a x=-1. Takze jenom 4 rovice o 4 neznamych.

ZedChu · 29. 03. 2012 23:40

Díky už jsem to vyřešil přes matice. Celkem tedy 4 rovnice o 4 neznámých.

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2012 21:00

Výpočet integrálu pomocí substituce

#2 25. 03. 2012 21:50

Re: Výpočet integrálu pomocí substituce

ZedChu napsal(a):

#3 26. 03. 2012 10:04 — Editoval Honzc (26. 03. 2012 13:10)

Re: Výpočet integrálu pomocí substituce

#4 26. 03. 2012 14:46

Re: Výpočet integrálu pomocí substituce

#5 26. 03. 2012 16:03

Re: Výpočet integrálu pomocí substituce

#6 29. 03. 2012 23:40

Re: Výpočet integrálu pomocí substituce

Zápatí