Matematické Fórum

lucka14lucky · 24. 03. 2012 11:22

Dobrý den, prosím o radu, jak mám dále počítat strany toho trojúhelníka. Stačí jenom poradit, pokusím se o to sama. :) Děkuji.

Trojúhelníik je rovnostranný a souměrný podle osy X.

vanok · 24. 03. 2012 11:31 — Editoval vanok (24. 03. 2012 11:32)

Ahoj ↑ lucka14lucky:,

Podla toho co pises
tvoj trojudolnik ma byt symetricky podla osy x ( to znamena ze smernica, jednej jeho nosnej priamky bude tan (30°) lebo 60°/2=30°)
A potom podla nacrtu prechadza cez bod B(3;0) alebo cez A(-3;0).
Vyjadri rovnicu tej priamky v kazdej sutuacii

Najdi v kazdom pripade prieseciky tej priamky z elipsou a dokonci vdaka symatrii

lucka14lucky · 25. 03. 2012 20:44

Našla jsem tady úplně stejný příklad. Takže se omlouvám, že jsem se nepodívala dříve.

Ale nešel by nějak obnovit? Já bych se chtěla zeptat právě na ten závěr... tak jestli nevadí, že to znovu otevírám.

Došla jsem k tomu závěru podle příkladu - rozumím všemu, jak se na to přišlo. Ale na konci tam vychází T se souřadnicemi: -3/2 a odmocnina ze 3/2....... na to se tedy přišlo podle vzorečku a+b/2 - jako střed přímky. Nesedí mi to právě, protože jsme ještě nevěděli, že je to ve středu té přímky. Asi mi tam chybí nějaký mezivýpočet ještě.

Ještě jsem se snažila najít průsečík přímky a elipsy - řešením jejich rovnic.
Kdy jsem si vyjádřila obecnou rovnici přímky: našla jsem si normálový vektor (odmocnina ze 3, -3) a rovnice byla pak: odmocnina ze 3x -3y + c = 0
Odsud jsem si vyjádřila y a dosadila do rovnice elipsy, ale v tom jsem se tak zamotala - že mi to nevyšlo.

Můžete mi prosím poradit, jak na to tedy?

jelena · 25. 03. 2012 22:31

Zdravím,

podrobně jsem Tvé řešení zatím nezkoumala. Chceš "obnovit" toto téma? Ono není zamčené, jen označeno za vyřešené. Upřesní, prosím, na co se chceš zeptat.

Děkuji.

lucka14lucky · 25. 03. 2012 23:14

↑ jelena:

Děkuji. Takže má se to tak:

Konkrétně budu se vztahovat k tomu totožnému příkladu v jiném tématu.
Ke konci: je tam zvolen vektor A-Y = směrnicový vektor. Přehodím-li souřadnice takto: (-3, $\sqrt{3}$ ) dostanu normálový vektor.
Z normálového vektoru udělám obecnou rovnici přímky:
$\sqrt{3}$ X - 3y + c =0
Řeším tuto rovnici s x-ovou souřadnicí a y-psilonovou souřadnicí bodu A (dosazením do ní) a C mi vychází 5,1961
Co mi ten bod udává?

Potom dále jak tam je řešen T - tak to vím, kde se vzalo - vzoreček na souřadnice středu. Jenže jsme nějak museli výpočtem předtím zjistit, že se nachází ve středu.

Já vím, že to je možná jednoduchá, ale prostě to v tom nevidím :)

Děkuji za odpověď. :)

jelena · 25. 03. 2012 23:56

↑ lucka14lucky:

přesně $c=3\sqrt3$ a obecný tvar přímky je $\sqrt{3}x-3y+3\sqrt 3=0$ . Obecný tvar si asi těžko představíš, ale pokud vyjádříš y=... dostaneš zápis lineární funkce, procházející bodem A, na této přímce leží jedna ze stran zadaného trojúhelníku.

Bod T se nenašel jako střed úsečky, ale jako průsečík přímky z předchozího kroku a elipsy. Tedy v rovnici elipsy ponecháme jednu neznámou x, do rovnici elipsy dosadíme y=... a vypočteme x=...

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Osobně bych takový způsob vyjádření přímky nepoužila. Použila bych tvar $y=kx+q$ , kde k=tg(30) nebo k=tg(150) stupňů, podle toho kterou přímku si zvolím, že budu počítat. Bodem A (-3, 0) prochází přímka $y=\mathrm{tg}(30^{\circ})\cdot x+q$ . Dosažením souřadnic bodu A dopočtu q.

Průsečík přímky a elipsy dá další vrchol trojúhelníku. Zbývající vrcholy stanovím už jen pomoci symetrie.

To všechno popisuje i kolega vanok, děkuji.

Podaří se zorientovat?

lucka14lucky · 26. 03. 2012 15:46

Dobré odpoledne,
prošla jsem Váš postup a snažila jsem se - na fotkách. Ale vychází mi to nějak zvláštně- takhle mi to přeci vyjít nemůže.

Druhá fotka je pokračování té první - je to jeden výpočet, vyfotila jsem to raději zblízka,aby to bylo k přečtení - proto na 2 fotky.

Děkuji. :)

vanok · 26. 03. 2012 16:08

Chyba je v tom, ze si zabudla odkopirovat X.
Pozri na druhom harku treti a stvrty riadok.

vanok · 26. 03. 2012 16:10

↑ jelena:
Pozdravujem, ako to robis, ze naraz piseme?

jelena · 26. 03. 2012 16:13

↑ vanok:

to je nemilá náhoda, obvykle se divám na náhled - pokud je stejná odpověď, tu svoji neumístím. Proto svůj příspěvek skryji :-)

Také hezký pozdrav.

Cheop · 26. 03. 2012 16:18 — Editoval Cheop (26. 03. 2012 16:39)

↑ lucka14lucky:
Výsledek je bohužel špatně.
Nastíním tady výpočet:
Elipsa $x^2+9y^2=9$ má středový tvar:
$\frac{x^2}{9}+y^2=1$
Střed této elipsy $S=(0;\,0)$
Hlavní poloosa $a^2=9\\a=3$
Jeden bod trojúhelníku bude mít souřadnice $A=(-3;\,0)$
Jedno rameno trojúhelníku bude mít rovnici:
$y=\text{tg}\,30^\circ\,x+q\\y=\frac{x}{\sqrt 3}+q$ - toto rameno bude procházet bodem A tj:
$0=\frac{-3}{\sqrt3}+q\\q=\frac{3}{\sqrt 3}\\q=\sqrt 3$
Rovnice ramene:
$y=\frac{x}{\sqrt 3}+\sqrt 3$ toto dosadíme do rovnice elipsy a vypočteme průsečík ramene s elipsou
$x^2+9\left(\frac{x}{\sqrt3}+\sqrt 3\right)^2=9\\x^2+\frac{9x^2}{3}+\frac{9\cdot 2\sqrt 3\,x}{\sqrt 3}+27=9\\4x^2+18x+18=0\\2x^2+9x+9=0\\x_1=-3\\x_2=-\frac 32$
Dopočítáme y-ovou souřadnici průsečíku
Pro x=-3
$y=\frac{-3}{\sqrt 3}+\sqrt 3=0$
Bod má souřadnice $A=(-3;\,0)$ - je to bod A
Pro x=-3/2
$y=\frac{-3}{2\sqrt 3}+\sqrt 3\\y=-\frac{\sqrt 3}{2}+\sqrt 3\\y=\frac{\sqrt 3}{2}$
Bod má souřadnice:
$B=\left(-\frac 32;\,\frac{\sqrt 3}{2}\right)$
Bod C je osově souměrný podle osy x tj bude mít souřadnice:
$C=\left(-\frac 32;\,-\frac{\sqrt 3}{2}\right)$
Trojúhelník:
$A=(-3;\,0)\\B=\left(-\frac 32;\,\frac{\sqrt 3}{2}\right)\\C=\left(-\frac 32;\,-\frac{\sqrt 3}{2}\right)$

Druhý trojúhelník je osově souměrný podle osy y a bude tedy mít souřadnice:
$A_1=(3;\,0)\\B_1=\left(\frac 32;\,\frac{\sqrt 3}{2}\right)\\C_1=\left(\frac 32;\,-\frac{\sqrt 3}{2}\right)$

Obrázek:

vanok · 26. 03. 2012 16:22

↑ jelena:,
No mas trosku ine detaily, tak ho kludne nehaj, to je skor zabavne take nahody. :-)
A tu co je velmi pozitivne, kolegina spolupracuje, a ozaj dobre pochopila, ako by malo toto forum fungovat.

lucka14lucky · 26. 03. 2012 19:37

Akorát co značí ta \sqrt{3} ? hned na začátku u tangensu 30 stupňů? ... takto se dá zapsat ten tangens?

vanok · 26. 03. 2012 19:51 — Editoval vanok (26. 03. 2012 19:53)

Mas take, specialne hodnoty funkcie tan co treba vediet na spamet:
$\tan 0°=0 \\ \tan 30°=\frac {\sqrt 3}3 \\ \tan 45°=1\\ \tan 60° = \sqrt 3$

Poznamka \sqrt{3} tak sa pise v latex mocnina cisla 3

lucka14lucky · 26. 03. 2012 20:08

vanok: Jo takhle - no vím, že je najdu v tabulkách, ale nenapadlo mě to :)

Jinak vám všem děkuju za pomoc s tímto příkladem, moc mi to pomohlo :) Dokonce to snad teď i chápu, proč to tak všechno je :)

Díky...

Matematické Fórum

#1 24. 03. 2012 11:22

Rovnostranný trojúhelník v elipse

#2 24. 03. 2012 11:31 — Editoval vanok (24. 03. 2012 11:32)

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#3 25. 03. 2012 20:44

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#4 25. 03. 2012 22:31

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#5 25. 03. 2012 23:14

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#6 25. 03. 2012 23:56

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#7 26. 03. 2012 15:46

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#8 26. 03. 2012 16:08

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#9 26. 03. 2012 16:08 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: duplicita

#10 26. 03. 2012 16:10

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#11 26. 03. 2012 16:13

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#12 26. 03. 2012 16:18 — Editoval Cheop (26. 03. 2012 16:39)

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#13 26. 03. 2012 16:22

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#14 26. 03. 2012 19:37

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#15 26. 03. 2012 19:51 — Editoval vanok (26. 03. 2012 19:53)

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

#16 26. 03. 2012 20:08

Re: Rovnostranný trojúhelník v elipse

Zápatí