Matematické Fórum

hamii · 26. 03. 2012 21:13

Zdravím, mám dotaz:
mám fci $f_{n}(x) = arctg(nx)$ a mám vyšetřit stejnosměrnou konvergenci na intervalu $M = (0,2)$ . Limitní fce je $f(x)=\frac{\Pi }{2}$ a teď mám zjistit limitu ze $sup|f_{n}(x) - f(x)| = sup|arctg(nx)-\frac{\Pi }{2}|$ , jak zjistím, jaký číslo z intervalu M dosadit do $arctg(nx)$ ?
Díky

Andrejka3

↑ hamii:
Ahoj.
Mějme $n \in \mathbb{N}$ .
Funkce $g_n(x)=nx$ zobrazuje $M$ na jaký interval?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

hamii · 26. 03. 2012 22:11

Teď nerozumím?

Andrejka3 · 26. 03. 2012 22:13

↑ hamii:
Editovala jsem... prosím přečti si ještě jednou mou první odpověď.

Andrejka3 · 26. 03. 2012 22:23

↑ hamii:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Andrejka3 · 26. 03. 2012 22:25

↑ hamii:
To vlastně ani nemusíš vědět. Stačí znát tady obraz $f_n$ intervalu $M$ . To jsem mimochodem napsala v příspěvku výše, protože jsem myslela, že jsem tě odradila, když jsem viděla, že jsi offline :)

hamii · 26. 03. 2012 22:27

↑ Andrejka3:

Ano, co jsi ale dosadila do arctg(nx)?
A co tam dosadím obecně? - v každém případě? Největší číslo z intervalu M? (samozřejmě pokud bodová limita je spojitá)?

hamii · 26. 03. 2012 22:28

↑ Andrejka3:

Až budu mít test za sebou budu s radostí offline :-) Dejme tomu že mám možnost vidět graf fn prakticky v každém příkladu...

Andrejka3

↑ hamii:
Já nic nedosazuji. Počítám supremum, přesně, jak jsi napsal. Počítáme supremum následující množiny:
$\{|f_n(x)-\pi/2| ;\; x \in M\}$ , kde $n$ máme pevné. Toto supremum si můžeme označit $\sigma_n$ a pak chceme provést limitu pro $n \rightarrow \infty$ .
Abychom to supremum dostali, musíme znát tu množinu $f_n(M)$ . To ale není problém - fce arctg je spojitá, rostoucí, v nule je nula. $nx$ zobrazí interval $(0,2)$ na $(0,2n)$ . $\mathrm{arctg}y$ zobrazí interval $(0,2n)$ na interval $(0,\mathrm{arctg}\;(2n))$ .
Tedy jak vypadá pak množina $\{|f_n(x)-\pi/2| ;\; x \in M\}$ ?

hamii · 26. 03. 2012 22:39

Dobře, chápu vše až na poslední otázku :-D mě to asi nemůže furt docvaknout :-(

Andrejka3 · 26. 03. 2012 22:46

↑ hamii:
Při vší úctě ti to nevěřím :)
Máš interval $(0,\text{arctg }(2n))=\{a \in \mathbb{R};\; 0<a<\text{arctg }(2n)\}=f_n(M)$ .
Jak vypadá množina $\{b \in \mathbb{R};\; \exists a \in f_n(M):\; b= |\pi/2-a|\}$ ?
To je velice jednoduché, opravdu. Nevěřím, že chápeš ostatní a toto nespočítáš.

hamii · 26. 03. 2012 22:59

že by $(0,\frac{\Pi }{2})$ ? Já jsem fakt asi úplně blbej :-(

Andrejka3 · 26. 03. 2012 23:06

↑ hamii:
Jeden konec intervalu $(0,\text{arctg }(2n))$ je 0
$\pi/2-0=\pi/2$
Druhý konec intervalu $(0,\text{arctg }(2n))$ je $\text{arctg }(2n)$
$\pi/2-\text{arctg }(2n)>0$ . Ostatní body se zobrazí někam mezi tyto dvě meze. Hledáme supremum množiny
$(\pi/2-\text{arctg }(2n),\pi/2)$ , což by už mělo být zřejmé.
Nevím, jak bych to napsala lépe :(

hamii · 26. 03. 2012 23:21

Jo tak teď už to zpětně vidím no, v tom Tvém předchozím příspěvku, co ses mi snažila říct... achjo :-( Díky moc. Jdu na jiný příklady.

Andrejka3 · 26. 03. 2012 23:22

Alternativně, můžeš zkusit aplikovat nějakou větu na stejnoměrnou spojitost.
Dívat se na $f_n$ a $f$ na $[0,2]$ . f_n jsou spojité, ale f je tam nespojitá (v nule nula, jinak $\pi/2$ ). Protože taky $f_n(0)=0$ je vidět, že problém dělá pravé okolí nuly, a že tedy f_n nebudou konvergovat na M stejnomerne.

hamii · 26. 03. 2012 23:27

↑ Andrejka3:
Ano, nejdřív si najdu limitní funkci a ta pokud není spojitá, rovnou nemůže být stejnoměrně konvergentní, i když bodově ano.

Andrejka3 · 26. 03. 2012 23:31

A z toho, co jsem napsala výše, tedy, že f_n(0)=0=f(0) snad plyne to, že není stejnoměrně konvergentní na libovolném pravém okolí nuly.

hamii · 27. 03. 2012 14:39

Měl bych tu ještě jeden dotaz:
$f_{n}(x)=x^{\frac{1}{n}}$ na množině $M=(0,1\rangle$ , limitní funkce je $f(x)=1$ . Když tam 0 nepatří, tak potom sup fn je 1 ne? a 1-1 = 0 -> stejnoměrná konvergence. Vím že to mám špatně, protože ve výsledku je že sup = 1.
Jakto, že sup fn = 0, když tam 0 nepatří?

vanok · 27. 03. 2012 15:04 — Editoval vanok (27. 03. 2012 15:05)

↑ hamii:,
Ahoj, to mas pravdu ze na internale $M=(0,1\rangle$ tvoja funkcia bodovo konverguje k 1.
A napriklad mozes pouzit zasa tuto vetu (iste ste ju videli) ↑ Andrejka3::f_n jsou spojité, ale f je tam nespojitá na intervale [0;1). ( to sa da ^pouzit preto ze vsetki f_n sa mozu definovat na tomto "rozsirenom intervale" a su na nom spojite)

Iny pristup, je ukazat ze $sup|f_{n}(x) - f(x)| |$ nejde k 0, co vyzaduje stejnomerna konvergencia... ( no vsak je to trrosku komplikovanejsie, ako si mohol vidiet na predoslych funkciach vyssie)

Andrejka3 · 27. 03. 2012 15:55

↑ hamii:
Ahoj, je pravda, že sup fn je 1.
Když chceš ale počítat stejn. konv. podle definice, zajímáš se o něco jiného:
sup {|fn(x)-f(x)|, x in M}, coz lze spočítat docela elementárně, že je 1. To je konstantní posloupnost a konverguje k 1. 1 není 0, není tedy fn stejn. konv. na M.

Rumburak

↑ hamii:
Ahoj, nepleť si supremum a maximum (největší prvek), supremum je obecnější a mají ho i takové množiny reálných čísel,
jejichž maximum nexistuje. Proveďme celý ten důkaz podrobněji.

Společný definiční obor funkcí

(1) $f_{n}(x)=x^{\frac{1}{n}}, n = 1, 2, 3, ...$

rozšířme na $M^*=\langle 0,1\rangle$ a uvažujme libovolnou, prozatím však pevně zvolenou funkci $f_{n}$ z posloopnosti (1). Tato funkce je v bodě 0 spojité zprava
s hodnotou $f_{n}(0)=0^{\frac{1}{n}}=0$ a rostoucí v $M^*$ . Zvolíme-li $\varepsilon \in (0, 1)$ , pak dle spojitosti této funkce v 0 zprava existuje $\delta \in (0, 1)$
takové, že pro libovolné $x \in \langle 0, \delta)$ (tj. i pro takováto NENULOVÁ x, která patří do M) je

(2) $|f_n(x) - f_n(0)| < \varepsilon$ .

Na základě toho, co o funkci $f_{n}$ víme, můžeme nerovnost (2) přepsat do tvaru $0 \le f_n(x) < \varepsilon$ , takže pro zmíněná $x$ je

$|f(x) - f_n(x)| = |1 - f_n(x)| = 1 - f_n(x) > 1 - \varepsilon$ .

Tím spíše i každá HORNÍ závora množiny $H_n := \{|f(x) - f_n(x)| ; x \in M \}$ je větší než $1 - \varepsilon$ , což platí i pro nejmenší z nich, tedy
pro číslo $s_n := \sup H_n$ . Pro libovolné přirozené číslo $n$ a livobolné $\varepsilon \in (0, 1)$ je tedy

(3) $s_n > 1 - \varepsilon$ .

Nic nám nebrání volit $\varepsilon \in (0, 1)$ libovolně blízko k 0. Pak ale, aby i tak mohlo platit (3) , musí být $s_n \ge 1$ . Shrnuto:

(4) $\sup \{|f(x) - f_n(x)| ; x \in M \} \ge 1$ .

Výrok (4) jsme dokázali pro libovolné $n = 1, 2, 3, ...$ , takže konvergence posloupnosti funkcí (1) k funkci $f(x) = 1$ není v M stejnoměrná.