Matematické Fórum

macher1 · 15. 03. 2012 13:35

Zdravím. Toto je prvý takýto príklad a neviem s ním ani zaťať. Zadanie znie: O koľko musíme zmeniť výšku kolmého ihlana s obdĺžnikovou podstavou (a=2m, b=1m) a s výškou v=1m, ak stranu a zväčšíme o 7cm a stranu b zmenšíme o 7cm, aby objem zostal zachovaný?
1000x ďakujem za akúkoľvek pomoc.

Rumburak

Ahoj.
Prvý jehlan má rozměry $a,b,v$ , druhý $a',b',v'$ , kde $a,b,v,a',b'$ známe. Neznámou $v'$ máme určit tak, aby oba měly týž objem.
Pomocí vzorce pro objem takového jehlanu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

sestavíme rovnici pro neznámou $v'$ .

Pčibližné řešení můžeme získat přes diferenciál: Napíšeme si rovnici $V(x,y,z) = V(a,b,v)$ a z ní vyjádříme $z = f(x,y)$ .
V okolí bodu $[a, b]$ bude

$\mathrm{d}z = f_x(a,b)\,\mathrm{d}x + f_y(a,b)\,\mathrm{d}y$ ,

kde diferenciály interpretujeme jako přírůstky proměnných.

(Symbol $f_x(a,b)$ znamená totéž, co $\frac{\partial f}{\partial x} (a,b)$ , tj. parciální derivaci fce f dle x v bodě [a, b] , anlogicky $f_y(a,b)$ .)

macher1

Super, 1000x vďaka! :)
Edit: dz mi vyšlo 1. To je asi zle, však? To by bol dosť veľký diferenciál.

Rumburak · 19. 03. 2012 10:09

↑ macher1:
Rovnice $V(x,y,z) = V(a,b,v)$ má tvar $xyz = abv$ , takže

$z = f(x,y) = \frac{abv}{xy} = \frac{2}{xy}$ , $f_x(x,y) =-\frac{2}{x^2y}$ , $f_y(x,y) =-\frac{2}{xy^2}$ ,

$\mathrm{d}z = f_x(a,b)\,\mathrm{d}x + f_y(a,b)\,\mathrm{d}y = -\frac{1}{2}\,\mathrm{d}x - \mathrm{d}y$ ,

sem dosadíme $\mathrm{d}x =0.07$ , $\mathrm{d}y =-0.07$ a dostaneme

$\mathrm{d}z = -\frac{1}{2}\,0.07 + 0.07 = 0.035$ , tedy 3.5 cm .

Aby zůstal zachován původní objem, musíme výšku jehlanu zvětšit o 3.5 cm .

Tento výpočet je zatížen chybou plynoucí z linearisace původního složitějšího vztahu. Přesný výpočet (ze vzorce pro objem přímo bez použití difernciálu)
dává hodnotu 3.8907... cm .