Matematické Fórum

Moonhorn · 27. 03. 2012 20:59

Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty a1, a2 mají rovnice a1,a2: y= +- 2(x-3) a jedno ohnisko je F1 (-2;0)

dostal jsem se do fáze kdy vím střed hyperboly což je $[3;0]$ a pomocí ohniska jsem si vyvodil e = 5, teď bych si chtěl vyvodit z toho co vím a,b ale nevím jak, pomůže někdo? kdyžtak díky moc

Cheop · 28. 03. 2012 06:57

↑ Moonhorn:
Pro rovnice asymptot platí:
$y-n=\pm\frac ba\left(x-m\right)$
a dále platí:
$a^2+b^2=e^2$

Rumburak

↑ Moonhorn:
Lze postupuvat i takto:

Jsou-li rovnice přímek $p, q$ tvaru $\frac{x-m}{u} \pm \frac{y-n}{v} = 0$ , tj. $\frac{x-m}{u} + \frac{y-n}{v} = 0$ a $\frac{x-m}{u} - \frac{y-n}{v} = 0$
(s konstantami $m, n, u, v$ ), pak jejich vynásobením dostaneme společnou rovnici přímek $p, q$ :

(1) $\left(\frac{x-m}{u}\right)^2 - \left(\frac{y-n}{v}\right)^2 = 0$ .

Nahradíme-li v ní nulu na pravé straně nenulovou konstantou, dostaneme rovnici některé hyperboly s asymptotami $p, q$ .
Platí to i naopak: každá hyperbola s asymptotami $p, q$ má rovnici tvaru

(2) $\left(\frac{x-m}{u}\right)^2 - \left(\frac{y-n}{v}\right)^2 = \lambda$ ,

kde $\lambda \ne 0$ je vhodná konstanta. Rovnice naší hyberboly tedy bude

(3) $(x-3)^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \lambda$ ,

kde konstantu $\lambda \ne 0$ zbývá dopočítat. Bylo by to velmi jednoduché, pokud bychom znali některý bod, jímž hyperbola prochází.
My známe ohnisko $F[-2;0]$ a střed $S[3;0]$ (průsečík asymptot), tedy i excentricitu $e = 5$ a navíc odtud víme, že hlavní osa
hledané hyperboly je rovnoběřná s osou $x$ , tudíž bude $\lambda > 0$ . Vydělením rovnice (3) číslem $\lambda$ obdržíme

(4) $\left(\frac{x-3}{\sqrt{\lambda}}\right)^2 - \left(\frac{y}{2\sqrt{\lambda}}\right)^2 = 1$ ,

kde $a = \sqrt{\lambda}$ je hlavní poloosa hyperboly a $b = 2\sqrt{\lambda}$ její vedlejší poloosa . Dosaszením do rovnice $a^2+b^2=e^2$ ,
kterou již připomněl kolega v předchozím příspěvku, získáme rovnici, z níž už snadno dopočteme neznámou $\lambda$ a tu dodsadíme do (4).

pema01 · 12. 03. 2015 17:36

Podle mého názoru to jde jednodušeji:

Nejprve si vyjádříme průnik p a q, dostaneme tak souřadnice x,y středu S, tedy $S[3;0]$ , nyní již můžeme relativně poskládat chtěnou rovnici hyperboly: $\frac{(x-3)^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , kde "a" je délka hlavní poloosy a "b" je délka vedlejší poloosy (proč? -> jelikož bod S a F leží na ose "x", a tam kde je ohnisko a střed, tam je hlavní poloosa).

Ze směrnicového tvaru asymptot vidíme poměr mezi délkou vedlejší a hlavní poloosy: $\frac{b}{a}=2$ (protože y=2x+6). Můžeme tedy sestavit soustavu 2 rovnic o 2 neznámých:
$\frac{b}{a}=2$
$e^{2}=a^{2}+b^{2}$ , tedy $25=a^{2}+b^{2}$
____________________________________________

Dosadíme a první rovnici do druhé a dostaneme: $a^{2}=5$ , $b^{2}=20$

rovnice je tedy: $\frac{(x-3)^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{20}=1$

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2012 20:59

Hyperbola s asymptoty a ohniskem

#2 28. 03. 2012 06:57

Re: Hyperbola s asymptoty a ohniskem

#3 28. 03. 2012 14:32 — Editoval Rumburak (28. 03. 2012 15:53)

Re: Hyperbola s asymptoty a ohniskem

#4 12. 03. 2015 17:36

Re: Hyperbola s asymptoty a ohniskem

Zápatí