Matematické Fórum

Tony3 · 27. 03. 2012 22:30 — Editoval Tony3 (27. 03. 2012 22:44)

Zdravím

Potřeboval bych prosím pomoct s jedním integrálem jde o výpočet rovinného obrazce ohraničeného osou x a křivkou zadanou parametrickýmy rovnicemi.

Zadáno:
$x=3sin^{3}t$ jsem zderivoval na $dx=9sin^{2}t*cost*dt$ a dosadil do $P=\int_{a}^{b}ydx$
$x=3cos^{3}t$
$0\le t\le \pi$

$P=\int_{0}^{\pi }3cos^{3}t*9sin^{2}t*cost*dt=27\int_{0}^{\pi }cos^{4}t*sin^{2}t*dt$

pak už nevím co s tím, napadlo mě za $sin^{2}t$ dosadit $\frac{1}{2}(1-cos2t)$ ale po dosazení jsem byl ještě vice zmaten a i po upravách jsem nedošel k výsledku.

Andrejka3 · 27. 03. 2012 22:39

Ahoj
$\sin^2t \cos^2t=\frac{1}{4}\sin^22t$
$\cos^2t=\frac{1}{2}(1+ \cos2t)$
Vztahy radši zkontroluj. Vede jistě na výsledek.

Tony3 · 27. 03. 2012 22:48

Já když to rozložím tak mě z toho vyjde ještě delší integrál se kterým už nevim co dělat.

Andrejka3

A mohl bys to prosím rozepsat, abych to nemusela dělat já?
edit: jeden jde spočítat substitucí na tu gon. fci, která je na druhou.
Druhý se převede na gon. fci dvojnasobneho argumentu

Tony3 · 27. 03. 2012 23:16

$27\int_{0}^{\pi }cos^{2}t*cos^{2}t*sin^{2}t*dt=27\int_{0}^{\pi }\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{4}(1+sin^{2}2t)*dt$

původně jsem jsi to rozepsal takto

$27\int_{0}^{\pi }cos^{2}t*cos^{2}t*sin^{2}t*dt=27\int_{0}^{\pi }\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{2}(1-cos2t)*dt$

kde je chyba?

Andrejka3 · 27. 03. 2012 23:22

↑ Tony3:
to tvé rozepsání je podle mě vpořádku.
Máš ale chybu v tom, co jsem navrhla já. Opravím:
$27\int_{0}^{\pi }cos^{2}t*cos^{2}t*sin^{2}t*dt=27\int_{0}^{\pi }\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{4}(sin^{2}2t)*dt$
protože $\sin2t=2\sin t \cos t$ .
Chceme spočítat:
$\int_{0}^{\pi }(1+cos2t)(sin^{2}2t)\d t=\int_{0}^{\pi }\sin^22t \d t +\int_{0}^{\pi }\cos 2t \sin^22t \d t$
Tady se podle mě dají využít nějaké symetrie. Napíšu další příspěvek, ať vidím na mezivýsledek.

Andrejka3

↑ Andrejka3:
perioda fce $\sin^22t$ je $\pi/2$ . Mohu tedy psát
$\int_{0}^{\pi }\sin^22t \d t=2\int_{0}^{\pi/2 }\sin^22t \d t=2\int_{0}^{\pi /2}\frac{1}{2}(1-\cos 4t) \d t$
pokud se nepletu. To už spočítáš, že?
$\int_{0}^{\pi }\cos 2t \sin^22t \d t$ možná bude nula.
$\cos 2t$ je v půlce intervalu, tedy v $t=\pi/2$ vlastně $\cos \pi$ . Ale vůči středu intervalu kde integruješ, je $\cos 2t$ lichá. $\sin^2 2t$ je tak0 symetrická podle půlky intervalu a to ale sudě. Celkem to je vůči středu intervalu lichá fce a tedy integrál by měl vyjít nula.

Andrejka3 · 27. 03. 2012 23:32

↑ Andrejka3:
perioda fce $\cos 4t$ je $2 \pi/4= \pi/2$ . Integruješ ji přes celou periodu, tento člen je taky nula.
Zbyde nenulový pouze ten člen
$2\int_{0}^{\pi /2}\frac{1}{2}1 \d t$

Andrejka3 · 27. 03. 2012 23:37

Jestli jsem nic nezapomnela, mel by byt vysledek
$\frac{27}{8}\int_{0}^{\pi/2} 1 \;\d t$

Andrejka3 · 27. 03. 2012 23:45

$27\int_{0}^{\pi }cos^{2}t*cos^{2}t*sin^{2}t*dt=27\int_{0}^{\pi }\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{2}(1-cos2t)*dt$
Vlastně, tento tvůj původní návrh je dost šikovný. Díky periodicitě ostatních fcí přispěje nenulově do celé integrace pouze člen
$27\int_{0}^{\pi }\frac{1}{8}1 \;\d t=\frac{27 \pi}{8}$ .

Tony3 · 28. 03. 2012 00:01

Jo teď už to v tom vidím :) moc díky

Andrejka3

Vidím, že jsem včera v noci měla zatmění mozku. Omlouvám se. Ale z
$27\int_{0}^{\pi }cos^{2}t*cos^{2}t*sin^{2}t*dt=27\int_{0}^{\pi }\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{2}(1+cos2t)*\frac{1}{2}(1-cos2t)*dt$
přispějí nulou členy, kde je cos v první mocnině. To protože cos integrovaný přes periodu dá nulu.
Jistě ale druhé mocniny jsou kladné, takže se nevyintegrují na nulu.
Musí se spočítat absolutní člen:
$\int_{0}^{\pi } 1 \; \d t$ ,
členy s druhou mocninou cosinu:
$\int_{0}^{\pi } -\cos^2 2t \; \d t$
třetí mocnina cosinu integrovaná přes periodu je nula ze stejného důvodu jako první mocnina.
Doufám, že mé původní řešení je vpořádku - ještě se podívám.
Počítala jsem jen integrál. Nevím, zda jsi ho odvodil správně.

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2012 22:30 — Editoval Tony3 (27. 03. 2012 22:44)

Integrál

#2 27. 03. 2012 22:39

Re: Integrál

#3 27. 03. 2012 22:48

Re: Integrál

#4 27. 03. 2012 22:48 — Editoval Andrejka3 (27. 03. 2012 22:49)

Re: Integrál

#5 27. 03. 2012 23:16

Re: Integrál

#6 27. 03. 2012 23:22

Re: Integrál

#7 27. 03. 2012 23:29 — Editoval Andrejka3 (27. 03. 2012 23:30)

Re: Integrál

#8 27. 03. 2012 23:32

Re: Integrál

#9 27. 03. 2012 23:37

Re: Integrál

#10 27. 03. 2012 23:45

Re: Integrál

#11 28. 03. 2012 00:01

Re: Integrál

#12 28. 03. 2012 10:45 — Editoval Andrejka3 (28. 03. 2012 10:45)

Re: Integrál

Zápatí