Matematické Fórum

dugbutabi

Dobrý den. proč se $\lim_{x\to0}=\frac{sinx}{x}=1$ děkuji :)

$\lim_{x\to0}\frac{sin3x}{sin4x}=\frac{3\lim_{x\to0}\frac{sin3x}{3x}}{4\lim_{x\to0}\frac{sin4x}{4x}}=\frac{3\cdot 1}{4\cdot 1}$

Rumburak · 28. 03. 2012 11:34

↑ dugbutabi:
Zadání nepatří k těm nejjasnějším :-) .

dugbutabi · 28. 03. 2012 13:46

Existuje nějaké jednodušší řešení?. Děkuji.

Rumburak

↑ dugbutabi:

Důkaz vztahu $\lim_{x\to 0}=\frac{\sin x}{x}=1$ je závislý na způsobu, jakým byla zavedena funkce sinus.
Pokud příjmeme tradiční středoškolskou definici pomocí oblouku jsdnotkové kružnice se středem v počátku, tak to jsem tu už někdy vysvětloval.
Jen co to najdu, dám sem odkaz.

EDIT. Bohužel jsem to nenašel. Takže si kresli:
Na jednotkovou kružnici naneseme obvyklým způsobem krátký oblouk IT délky t tak, aby I=[1, 0] , T = [cos t, sin t ] uvnitř I. kvadrantu.
Dalšími body budou P = [0, 0] , A = [cos t. 0] , B = [1, tan t] . (tan = tangens)

Trojúh. PAT má obsah (cos t * sin t) / 2 .

Kruhová výseč příslušná k oblouku IT má obsah t/2. Toto číslo je větší než předešlé.

Trojúh. PIB má obsah (tan t) / 2 . Toto číslo je větší než předešlé.

Máme tedy složenou nerovnost

$\frac {\cos t \sin t}{2} \le \frac {t}{2} \le \frac{\tan t}{2}= \frac {\sin t}{2\cos t}$ ,

z ní dostaneme

$\cos t \le \frac {t}{ \sin t} \le \frac {1}{\cos t}$ .

Pro $t \to 0+$ jdou obě křídla této nerovnosti k 1 a podle věty o dvou policajtech musí mít tutéž limitu i vnitřní člen.

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2012 11:24 — Editoval dugbutabi (28. 03. 2012 12:01)

Limita funkce

#2 28. 03. 2012 11:34

Re: Limita funkce

#3 28. 03. 2012 13:46

Re: Limita funkce

#4 28. 03. 2012 14:43 — Editoval Rumburak (28. 03. 2012 15:25)

Re: Limita funkce

Zápatí