Matematické Fórum

kotry · 28. 03. 2012 19:14

Ahoj,
můžete mi prosím pomoci s tímto příkladem?

jardofpr · 28. 03. 2012 22:51

↑ kotry:

ahoj,
a kde je presne problém?

kotry · 28. 03. 2012 22:59

nevím jak to řešit, potřeboval bych nějaký návod...

jardofpr

↑ kotry:

ch má byť charakteristická funkcia danej množiny bodov?
ak áno, tak o nej vieme, že
ak $A \subset \mathbb{R}$ potom
$ch_{A}(x) = \Big\langle \begin{array}{c|ccc} 1 & x& \in& A \\ 0 & x & \notin & A \end{array}$

ako bude vyzerať $ch_{(1,2)}(x)$ ?

kotry · 28. 03. 2012 23:18

já se omlouvám, ale nerozumím tomu. Nešlo by to nakreslit?

jardofpr

↑ kotry:

ok

vezmeme si množinu $A=\{0,1,3,5\}$
potom jej charakteristická funkcia podľa toho čo som napísal vyššie,
má hodnotu $1$ pre $x \in A$ a inde $0$

teda
$ch_{A}(0)=1$
$ch_{A}(1)=1$
$ch_{A}(3)=1$
$ch_{A}(5)=1$

ale napríklad $ch_{A}(-1)=0$ lebo $-1 \notin A$

škaredý obrázok

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

teda charakteristická funkcia podmnožiny reálnych čísel priradí hodnotu 1 každému číslu, ktoré do tej množiny patrí,
hodnotu 0 všetkým ostatným reálnym číslam

chápeš ten princíp?
(na tom strašnom neprehľadnom obrázku je graf charakteristickej funkcie množiny A červenou farbou)

vanok · 29. 03. 2012 00:12 — Editoval vanok (29. 03. 2012 00:13)

Ahoj ↑ jardofpr:,

Len mala otazka, pre ↑ kotry:
Nevideli ste nahodou nejaku takuto vetu:
Ak A a B su disjoktne ( cize bez spolocnych prvkov) mame $ch_A+ch_B= ch_{A \cup B}$

To sa da pouzit aj v tvojom cviceni.... a da ti to vysledok bez namahy.

kotry · 30. 03. 2012 15:33

↑ jardofpr:

už asi chápu... takže $ch_{A}(2)=0$ $ch_{A}(6)=0$ atd.

ale když je mám potom sčítat, jako v mém příkladu tak by to byl průnik těch množin? $(1,2), <1,2>,\{{1,2}\}$
takže výsledek toho mého příkladu by byl 0?

jardofpr

kotry napsal(a):
↑ jardofpr:

takže $ch_{A}(2)=0$ $ch_{A}(6)=0$ atd.

presne tak, ale aj napríklad $ch_{A}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$

na začiatok je možno dobré si rozpísať ako každá z tých funkcií vyzerá, ak stále tápaš, nakresli si ich

$ch_{(1,2)}(x)=\left\langle \begin{array}{cl} 0 & x\leqq1\\ 1 & x\in (1,2)\\0 & x \geq 2\end{array} \right.$

$ch_{\langle1,2\rangle}(x)=\left\langle \begin{array}{cl} 0 & x<1\\ 1 & x\in \langle 1,2\rangle \\0 & x > 2\end{array} \right.$

$ch_{\{1,2\}}(x)=\left\langle \quad \begin{array}{cl} 0 & x<1\\ 1 & x=1 \\0 & 1<x<2 \\ 1 & x=2 \\ 0 & x > 2 \end{array} \right.$

keď sa na to pozrieš bližšie,
malo by byť vidno že funkcia môže mať najviac 2 body nespojitosti, $x_{1}=1$ a $x_{2}=2$ ,
lebo na intervaloch $(-\infty,1)\,,\,(1,2)\,,\,(2,\infty)$ sú všetky tri tieto rôzne charakteristické funkcie konštantné, spojité
treba ti teda vyšetriť v podstate len spojitosť v tých dvoch bodoch

tento príklad môžeš aj tak najľahšie urobiť podľa toho čo píše ↑ vanok: o kúsok vyššie, rýchlo zistíš že hľadaná funkcia je konštantná nula definovaná na celej množine reálnych čísel, čo je asi najtriviálnejší príklad funkcie spojitej v každom bode svojho definičného oboru..

pre zoznámenie sa s takýmto typom funkcie môžeš vyšetrovať funkčné hodnoty na každom z tých troch intervalov zvlášť trebárs...

dôležité zistenie bude že $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\,,\,\,\,\,\,\, \forall x_{0} \in \mathbb{R}$