Matematické Fórum

Ginco · 17. 10. 2008 17:57

ahoj...mam dotaz

najděte posloupnost splňující následující požadavky:

1. $\max\{{a_n}=\not\exist}$
2. $\lim\limits_{a \to \infty}{n}\cdot{a_n}=1$

Já si myslím, že taková posloupnost neexistuje...prosím o radu děkuji

Marian · 17. 10. 2008 18:04 — Editoval Marian (17. 10. 2008 18:09)

↑ Ginco:

Nepíšeš, jestli je má splňovat jediná posloupnost najednou.

1. $\{ a_n\}_n:=\left\{-\frac{1}{n}\right\}_n\quad\Rightarrow\quad\not{\exist}\;\max_{n} (a_n)$

2. $\{ a_n\}_n:=\left\{\frac{1}{n}\right\}_n\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{1}{n}=1.$

Ginco · 17. 10. 2008 18:14 — Editoval Ginco (17. 10. 2008 19:41)

↑ Marian: pardon ano má to splňovat oboje najednou

přesně takto jsem postupoval a došel jsem k závěru, že posloupnost neexistuje, nebo? {1/n}je posloupnost klesající a ta má vždy maximum nebo jsem se mýlil??

bohužel si nejsem jist

Marian · 17. 10. 2008 20:20

Pokud by taková posloupnost {a_n} existovala a měla vlastní nenulovou limitu, pak máme hned spor s podmínkou (2), která by nebyla splněna. Pokud by limita lim a_n neexistovala (vlastní nebo nevlastní), nebylo by splněno lim (n*a_n)=1 - spor s (2)! podobně také z podmínky (2) snadno vyvodíš, že lim (a_n) nemůže být nevlastní.

Dále by posloupnost {a_n} musela být ostře rostoucí (v opačném případě existuje maximum - spor s (1)) a od jistého n_0 kladná. Musí dále být jistě lim (a_n)=0.

Nelze ale nalézt takovou rostoucí posloupnost, která je od jistého n_0 kladná a její limita je rovna nule zároveň.

Marian · 17. 10. 2008 20:21 — Editoval Marian (17. 10. 2008 20:21)

↑ kaja.marik:
$\lim_{n\to\infty}n\left (1-\frac{1}{n}\right )=\infty\neq 1.$

kaja.marik · 17. 10. 2008 22:30

↑ Marian:
jojo, spatne jsem si precetl zadani ...

Ginco · 18. 10. 2008 01:15

je tedy závěr, že neexistuje taková posloupnost, která by splňovala obě podmínky zárověň správná??

Marian · 18. 10. 2008 05:52

↑ Ginco:

Ano!

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2008 17:57

ěte posloupnost

#2 17. 10. 2008 18:04 — Editoval Marian (17. 10. 2008 18:09)

Re: ěte posloupnost

#3 17. 10. 2008 18:14 — Editoval Ginco (17. 10. 2008 19:41)

Re: ěte posloupnost

#4 17. 10. 2008 20:20

Re: ěte posloupnost

#5 17. 10. 2008 20:21 — Editoval Marian (17. 10. 2008 20:21)

Re: ěte posloupnost

#6 17. 10. 2008 22:30

Re: ěte posloupnost

#7 18. 10. 2008 01:15

Re: ěte posloupnost

#8 18. 10. 2008 05:52

Re: ěte posloupnost

Zápatí