Matematické Fórum

lidro · 28. 03. 2012 20:31 — Editoval lidro (28. 03. 2012 20:38)

Dobry den, trochu dopredu oproti skole sem se zacal ucit komplexni cisla, nevim, co s nimi vsechno muzu delat a podobne, tedy nevim, jestli závěr příkladu, ke kterému jsem došel je spravny nebo ne. prosim tedy o kontrolu.

$\sqrt[3]{1+i}+\sqrt[3]{1-i}$ jsem umocnil na treti, potom to vypadalo zhruba takhle:

$2+3\sqrt[3]{2+2i}+3\sqrt[3]{2-2i}$ vytknul jsem a vzapeti odmocnil, teď myslím, že jsem použil ekvivalentní úpravy takže by mél být význam stejný. Zápis vypadá teď takto:
$\sqrt[3]{2+3\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{1+i}+\sqrt[3]{1-i})}$ Teď jestli jsem postupoval dobře tak vyraz v zavorce je stejny jak v zadani, muzeme tedy napsat: $\sqrt[3]{2+3\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2+3\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2+...}}}$

prosim o kontrolu, jestli to mam dobre, jestli to muzeme takto upravovat. popripade jestli by to neslo nejak upravit aby ten vypocet neobsahoval nekonecny pocet kroku. dekuji.

edit: teď jsem pomoci pocitace zjistil, ze spravna hodnota je -4. tak to ale nevim, jak se k tomu mam dostat.

Miky4 · 28. 03. 2012 20:45

Ahoj,

lidro napsal(a):
teď jsem pomoci pocitace zjistil, ze spravna hodnota je -4.

není.

lidro · 28. 03. 2012 20:46 — Editoval lidro (28. 03. 2012 20:48)

jo promiňte ja jsem zadal na tŕetí a ne na 1/3. uz je to jasne.

tak jsem to tam hodil a vysledek je podle pocitace neco co nejsem schpny pojmenovat, je tam eulerovo cislo, je tam imaginarni jednotka a taky pi. co to muze byt za vzorec? ja jsem nikdy nevidel tyto konstanty u sebe, myslel jsem ze jsou uplne rozdilne.

lidro · 28. 03. 2012 20:51

jeste napisu co je za vysledek podle pocitace: $\sqrt[6]{2}e^{-\frac{\pi i}{12}}+\sqrt[6]{2}e^{\frac{\pi i}{12}}$

jelena · 29. 03. 2012 00:11

↑ lidro:

Zdravím,

tento tvar "podle počítače" $\sqrt[6]{2}e^{-\frac{\pi i}{12}}+\sqrt[6]{2}e^{\frac{\pi i}{12}}$ je jeden ze způsobu zápisu výsledku obsahujícího komplexní čísla - viz Alternate form. a využívá exponenciální tvar komplexního čísla - postup převodu jednotlivých tvarů je např. zde.

Na SŠ se exponenciální tvar se učí snad jen u elektrotechniků, běžně ne, ale je užitečný.

Jinak v zadání $\sqrt[3]{1+i}+\sqrt[3]{1-i}$ bys spíš pracoval s odmocninami komplexních čísel - viz také v odkazu. Zrovna pro odmocňování je velmi vhodný převod na exponenciální tvar. Zdar ve studiu přeji.

Rumburak · 29. 03. 2012 09:59

↑ lidro:
Ahoj.
V souvislosti s "odmocňováním" v oboru komplexních čísel je potřeba si uvědomit, že tato úloha není řešitelná jednoznačně.
Rovnice $z^n = a$ (kde $a\ne 0$ je dané komplexní číslo, $n \in \{2, 3, , ... \}$ , $z$ neznámá v oboru komplexních čísel) má přesně $n$ komplexních kořenů,
které všechny nazýváme tradičně $n$ -tými odmocninami z čísla $a$ (podrobnější informace hledej pod heslem "binomické rovnice"). Avšak vžité označení $\sqrt[n]{a}$
z reálného oboru, kde jsou ovšem odmocniny pojímány jako funkce s jednoznačně určenou reálnou hodnotou, se pro vícenačné "komplexní" odmocniny nehodí
a není radno je v této souvislosti používat.
Tyto otázky se řeší až ve vysokoškolské matematice, kde se též definuje pro komplexní odmocniny adekvátní označení, ktreré ale bohužel není zcela jednotné.

lidro · 29. 03. 2012 11:42

Diky za vysvétlení Rumburak, já jsem to jenom tak zkoušel, tak si tedy poćkám jak to nékdy budeme na néjaké śkole probírat. Já se učím vétšinou sám, tak nevím, co je radno a co není radno, o komplexní čísla jsem se začal zajímat teprve před pár týdny, tak si zkusím najít zatím něco nového. Nemůžeś mi néco doporućit? néjakou pěknou oblast matematiky pro prváka na SŠ? Mě už pomalu docházejí nápady čemu se mám dále věnovat.

lidro · 29. 03. 2012 11:46

jeśté mám ale jen poslední otázku, mé počítać ukazuje, že ta hodnota je zhruba 2,16 ale bez imaginární jednotky. nejde v takovém pŕípadě do číslo povaźovat za reálné a provádét s ním istejné operace?

Rumburak · 29. 03. 2012 15:30

↑ lidro:
Důležitým pomocníkem je goniometrický tvar komplexního čísla. Mějme reálná čísla $a, b$ , z nichž aspoň jedno je nenulové. Potom je nenulové
také komplexní číslo $c = a + b\,\mathrm{i}$ a rovněž i jeho absolutní hodnota $|c| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Můžeme pak psát

(1) $c = |c| \left( \frac{a}{|c|} + \frac{b}{|c|}\, \mathrm{i} \right) = |c| \left( \cos \gamma + \mathrm{i}\,\sin \gamma \right)$ ,

kde $\gamma \in \langle 0, 2\pi)$ je úhel, pro který platí $\cos \gamma = \frac{a}{|c|} \,\wedge \, \sin \gamma = \frac{b}{|c|}$ , tj. orientovaný úhel, který svírá komplexní číslo $c \ne 0$
(vyjádřené jako orientovaná úsečka $\vec{0c}$ ) s "kladnou částí" reálné osy (tedy s orientovanou úsečkou $\vec{01}$ ) . Výraz na pravé straně v (1) se pak nazývá
goniometrickým tvarem komplexního čísla $c$ , úhel $\gamma$ argumentem resp. amplitudou tohoto kompl. č. Podmínka $\gamma \in \langle 0, 2\pi)$ není zcela závazná,
místo ní lze použít i libovolnou hodnotu tvaru $\gamma + 2k\pi$ , kde $k$ je kterékoliv celé číslo (viz periodicita funkcí sinus a kosinus).

Platí-li $c \ne 0$ , (1) a je-li $n$ přirozené číslo, potom lze dokázat, že $c^n = |c|^n \left( \cos n\gamma + \mathrm{i}\,\sin n\gamma \right)$ (Moivreova věta) , pomocí níž se celkem
pohodlně počítají mocniny komplexních čísel a řeší binomické rovnice. Pakliže už důkladněji znáš goniometrické funkce orientovaného úhlu (za mých středošk.
studií se to ale probíralo až ve 2. ročníku), tak si zkus podle M. věty vyřešit binomické rovnice $z^3 = 1 + i$ a $z^3 = 1 - i$ a rozhodni se, které jejich
kořeny označíš $\sqrt[3]{1 + i}$ a $\sqrt[3]{1 - i}$ - pak už nebude těžké určit jejich součet. :-)

Z Tvého zájmu usuzuji, že jsi budoucí matematik. Ptáš se na nějakou literaturu. Neznám Tvůj vkus a také Ti nechci doporučovat učebnice vyšších ročníků :-) .
Snad by se zde mohla hodit sice realativně tenká, ale obsahem vydatná knížka Bedřich Pospíšil: Nekonečno v matematice. V některé odborně zaměřené
knihovně by ji mohli mít. Netuším, zda Tě téma skutečně zaujme (jde o látku z teorie množin), navrhuji ji proto, že k jejímu studiu nejsou potřeba prakticky
žádné předběžné znalosti (aspoň pokud si vzpomínám) .

lidro · 29. 03. 2012 16:13

na moivreovu větu se zkusím podívat a jak ji pochopím, tak to možná nebude těžké. já se hlavně snažím všechno pochopit, moivreova věta a gon. tvar komplexních ćísel mi snad pomouhou pochopit více komplexní čísla. děkuji za dpopručenou literaturu, určitě se podívám, zatím mě ohledně matiky zajímá vśechno, takže mě určitě zaujme.

Rumburak · 29. 03. 2012 16:18

↑ lidro:
A nezapomeň na ty binomické rovnice :-) - pro toto téma jsou důležité.

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2012 20:31 — Editoval lidro (28. 03. 2012 20:38)

komplexni cisla treti odmocnina

#2 28. 03. 2012 20:45

Re: komplexni cisla treti odmocnina

lidro napsal(a):

#3 28. 03. 2012 20:46 — Editoval lidro (28. 03. 2012 20:48)

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#4 28. 03. 2012 20:51

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#5 29. 03. 2012 00:11

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#6 29. 03. 2012 09:59

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#7 29. 03. 2012 11:42

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#8 29. 03. 2012 11:46

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#9 29. 03. 2012 15:30

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#10 29. 03. 2012 16:13

Re: komplexni cisla treti odmocnina

#11 29. 03. 2012 16:18

Re: komplexni cisla treti odmocnina

Zápatí