Matematické Fórum

Aquabellla · 29. 03. 2012 20:20

Zdravím, potřebuji poradit s příkladem v metrickém prostoru (na semináři jsme m.p. prolétli jen letmo...).

Nechť $A = (0, 1) \cap \mathbb I$ , kde $\mathbb I$ je množina všech iracionálních čísel. Určete $A^o$ , $A'$ , $A^{-}$ , $h(A)$ . Je množina $A$ otevřená, respektive uzavřená? Je množina $A$ hustá v metrickém prostoru $([0, 1], |\cdot|)$ ?

Vím, že:
- $A^o$ je vnitřek množiny A = množina všech vnitřních bodů množiny A
- $A'$ je derivace množiny A = množina všech hromadných bodů množiny A
- $A^{-}$ je uzávěr množiny A = $\{x \in P: \rho(x, A) = 0\} = inf \{\rho(x,y), y \in A\}$
- $h(A)$ je hranice A = množina všech hraničních bodů množiny A
- množina A je uzavřená, pokud platí: $h(A) \subseteq A$
- množina A je otevřená, pokud: $h(A) \cap A = \o$ nebo $A = A^o$
- množina A je hustá v P, pokud: $A^-$ nebo $\forall x \in P: \rho(x,A) = 0$ nebo $\forall x \in P, \forall \varepsilon >0, \exists y \in A: \rho(x,y) < \varepsilon$

Bohužel nevím, jak to konkrétně aplikovat na příklad.
Předem děkuji za každou radou!

Andrejka3 · 29. 03. 2012 21:07

↑ Aquabellla:
Ahoj, tak můžeme jít kousek po kousku, třeba nejdříve zjistit, zda je A otevřená ve zmíněném metrickém prostoru.
To je tehdy, pokud je každý její bod vnitřní. Zvolme tedy $a \in A$ . Máme najít nějaké $\varepsilon>0$ tak, aby $U_{\varepsilon}(x) \subset A$ . Je to srozumitelné?
Existuje takové epsilon? Pokud ano, proč. Pokud ne, proč?

Rumburak · 29. 03. 2012 21:26

Andrejka3 · 29. 03. 2012 21:27

↑ Rumburak:
Jistě, dobrá poznámka. Automaticky jsem to brala jako metriku indukovanou normou.

Aquabellla · 29. 03. 2012 21:44

↑ Andrejka3:

Podle mě je množina otevřená, protože všechny body jsou vnitřní (interval je otevřený - není hranice A).

↑ Rumburak:

Popravdě nevím, setkala jsem se s tím ve sbírce prvně.

Andrejka3 · 29. 03. 2012 21:49

↑ Aquabellla:
Tak to nelze počítat...
Potřebovala bych vědět, čemu rozumíš, abych věděla s čím začít.
Víš, co je metrika? Jaké má vlastnosti?

Aquabellla · 29. 03. 2012 22:04

↑ Andrejka3:

Ten základ jsem celkem pochopila. Metrika $\rho$ je zobrazení PxP --> R+, kde P je nějaká množina (neprázdná). To číslo $\rho(x,y)$ nazýváme vzdáleností bodů x, y v metrickém prostoru $(P, \rho)$ . Metrický prostor musí splňovat tři axiomy:
1) $\rho(x,y) \ge 0$ , nule se rovná právě tehdy, když x = y.
2) $\rho(x,y) = \rho(y,x)$ - symetrie
3) $\rho(x,y) \le \rho(x,z) + \rho(z,y)$ - trojúhelníková nerovnost

Známe 5 základních metrik: $\rho_1(x,y)$ součtová metrika, $\rho_2(x,y)$ eukleidovská metrika (do teď jsme se pohybovali pouze v této metrice), $\rho_{\infty}(x,y)$ maximální metrika, $\rho_c(x,y)$ metrika stejnoměrné konvergence, $\rho_I(x,y)$ integrální metrika. Počítat vzdálenosti dvou bodů v jednotlivých metrikách mi problém nedělá.

Andrejka3 · 29. 03. 2012 22:14

Skvělé.
Další zásadní pojem je okolí bodu, s tím budeme dost pracovat.
Ještě předtím je užitečné si uvědomit následující:
Je-li $(P,\varrho)$ metrický prostor, pak pro každou vlastní podmnožinu P, řekněme $Q$ je $(Q,\sigma)$ opět metrický prostor, kde $\sigma$ je zúžení $\varrho$ na $Q \times Q$ .
Toto okamžitě můžeme využít:

Metrika v příkladu, jak psal kolega Rumburak má následující předpis:
$\varrho (x,y)=|x-y|$ .
Takovou metriku jistě znáš - běžně se s ní definují metrické pojmy jako konvergence apod v reálné analýze fcí jedné reálné proměnné. $(\mathbb{R}, |\cdot - \cdot|)$ víme, že je metrický prostor, tak i $([0,1],|\cdot - \cdot |)$ je též metrický prostor.

Jedním ze zásadních pojmů je okolí bodu, které je definované následovně.
Buď $(P,\varrho)$ metrický prostor, $x \in P,\; \varepsilon >0$ .
Epsilon okolí bodu $x$ (v prostoru P) je množina $U_{\varepsilon}(x)=\{p \in P;\; \varrho(p,x)< \varepsilon\}$ .
Lze si to představit jako kouli kolem bodu x o poloměru epsilon.

Jak bys tedy napsala dejme tomu $U_{2}(\pi/4)$ v našem příkladu?

Aquabellla · 29. 03. 2012 22:51

↑ Andrejka3:

Dobře, zúžení, metriku od Rumburaka i okolí bodu chápu
.
$U_{\varepsilon}(x)=\{p \in P;\; \varrho(p,x)< \varepsilon\}$
$U_{2}(\frac{\pi}{4})=\{p \in P;\; \varrho(p, \frac{\pi}{4})< 2\}$
$\varrho(p,\frac{\pi}{4})< 2$
$|p - \frac{\pi}{4}| < 2$
Napsala jsem to správně?

Andrejka3

↑ Aquabellla:
ano, ale
$|p - \frac{\pi}{4}| < 2$ je na první pohled nejasné. Spíš nesprávné, řekla bych:
můžeš si ověřit, že třeba $p=-\frac{1}{2}$ splňuje tuto podmínku. Problém je, že to není prvek našeho metrického prostoru : $-\frac{1}{2} \notin [0,1]$ .
Takže $U_{2}(\frac{\pi}{4})=\{p \in P;\; \varrho(p, \frac{\pi}{4})< 2\}$ je v našem případě:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Poznámka: (triviální) Každé okolí bodu je neprázdná množina - patří do ni totiž ten bod samotný, jehož okolí uvažujeme. Někdy se počítá ale s metrickými prostory "plnými děr" jako $(\mathbb{N}, |\cdot\; - \; \cdot|)$ . V takovém m.p. je pak jednotkové okolí každého bodu jednoprvkové.

Je několik možností zavedení otevřené množiny. Zde je jedna hezká definice:
Ať je $(P, \varrho)$ m.p. a $G \subset P$ .
Řekneme, že $G$ je otevřená (vzhledem k m.p. P), právě když $\forall g \in G \;\exists \varepsilon > 0 : \; U_{\varepsilon}(g) \subset G$ .
Takže každý bod otevřené množiny můžeme obalit okolíčkem, tak, že celé to okolíčko patří do té množiny.
Okamžitě máme $P, \emptyset$ jsou otevřené množiny (chceme-li počítat i s prázdnými množinami), každé okolí nějakého bodu je (díky troj. nerovnosti) otevřená množina.

Viz náš příklad. Chceme-li dokázat, že $A$ je otevřená (v $[0,1], |\cdot - \cdot|)$ , musíme pro každý bod množiny $A$ najít, okolí, které se celé vejde do $A$ . Lze to udělat?
Volíme nějaké iracionální číslo mezi nulou a jedničkou.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Aquabellla · 29. 03. 2012 23:21

↑ Andrejka3:

Dobře, takže množinou P je průnik řešení nerovnice a našeho intervalu? Jelikož náš interval je podmnožinou řešení nerovnice, tak je to jasné.

Jj, tomu rozumím, i když samotnou by mě to do teď nenapadlo nad tím tahle uvažovat.
Může se stát, že nějaká množina není ani otevřená ani uzavřená?

Andrejka3

↑ Aquabellla:

Dobře, takže množinou P je průnik řešení nerovnice a našeho intervalu? Jelikož náš interval je podmnožinou řešení nerovnice, tak je to jasné.

Tak jest.
Otevřené a uzavřené množiny jsou hezké. Taky mívají m.p. množiny, které jsou ošklivé, a nejsou ani jedno, například v $(\mathbb{R},|\cdot-\cdot|)$ není $[0,1)$ ani otevřená, ani uzavřená. Myslím, že v našem příkladu $A$ taky není ani uzavřená.
Množinám, které jsou uzavřené i otevřené zároveň se někdy říká obojetné. Tak například každá podmnožina v metrickém prostoru $\mathbb{N},|\cdot-\cdot|$ je obojetná.
V každém metrickém prostoru $(P,\varrho)$ jsou $P,\; \emptyset$ obojetné.

Platí následující tvrzení:
Sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina.
Průnik konečného systému otevřených množin je otevřená množina.
Obojí lze snadno dokázat z uvedené definice.

Co je to vnitřek?
Jedna z možných definic:
Ať je $(P,\varrho)$ m.p., $M \subset P$
Vnitřek množiny $M$ (v m.p. P) definujeme jako $M^o= \bigcup_{\substack{G \text{ ot.}\\G \subset M}}G$ .
Je to tedy sjednocení všech otevřených podmnožin, které jsou částí $M$ . Dle předchozích tvrzení je vnitřek otevřená množina. Okamžitě máme: Vnitřek množiny je největší otevřená množina, kterou $M$ obsahuje.
Vnitřní body $M$ můžeme definovat jako prvky vnitřku M (existuje nějaké jejich okolí, které je celé částí M).
Pozn.: Z definice $M^o \subset M$ .
Tvrzení (jednoduché): $M^o =\{m \in M; \exists \varepsilon >0:\; U_{\varepsilon}(m) \subset M\}$ .
Tvrzení: $M$ je otevřená $\iff \; M^o=M$ .
$(M^o)^o=M^o$

Jaký je vnitřek množiny $A$ ?
edit: doplneni

Rumburak

↑ Andrejka3:

Andrejka3 napsal(a):
↑ Aquabellla:
Okamžitě máme: Vnitřek množiny je nejmenší otevřená množina, kterou $M$ obsahuje.

Ahoj, určitě jsi chtěla napsat

Vnitřek množiny $M$ je NEJVĚTŠÍ otevřená množina, kterou $M$ obsahuje.

Po tak náročném výkladu těsně před půlnocí není divu ... :-)

↑ Aquabellla: Dík za odpověď.

Andrejka3 · 30. 03. 2012 11:33

↑ Rumburak:
Díky, hned to opravím.

Aquabellla · 30. 03. 2012 19:29

↑ Andrejka3:

Vnitřek množiny je tedy sjednocení všech otevřených podmnožin, které jsou částí $M$ .
Vnitřní body $M$ můžeme definovat jako prvky vnitřku M (existuje nějaké jejich okolí, které je celé částí M).

Zvolím si libovolný prvek množiny A, například $\frac{\sqrt2}{2}$ . Když vezmu libovolně malé epsilonové okolí tohoto bodu, vždy v tomto okolí dokážu najít nějaké reálné číslo, takže okolí není celé v M. Takto to platí pro všechny body množiny A. V množině A není žádná otevřená podmnožina, takže vnitřkem množiny je prázdná množina?

Andrejka3

↑ Aquabellla:
Ano, chtěla jsi napsat

... vždy v tomto okolí dokážu najít nějaké racionální číslo, ...

Napíšu něco o uzavřených množinách.

Můžeme je definovat takhle:
Ať je $(P,\varrho)$ m.p. a $F \subset P$ nějaká množina.
Řekneme, že $F$ je uzavřená, právě když $P \setminus F$ je otevřená.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Taková definice je příjemná v důkazech, ale nedá se z ní hned udělat nějakou představu o uz. množinách. Důsledkem je to, že vlastně máme bijekci mezi systémem všech otevřených množin metrického prostoru a systémem všech jeho uzavřených množin. Tuto myšlenku + de Morgan vzorce lze použít pro důkaz tvrzeních, které jsou analogické těm, co platí pro otevřené mn.:

Průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina.
Sjednocení konečného systému uzavřených množin je uzavřená množina.

Prázdná množina a metrický prostor celý jsou uzavřené množiny.
Buď $G$ otevřená a $F$ uzavřená. Co můžeme říct o následujících množinách:
$F \setminus G ,\;G \setminus F$ ?

Uzávěr: Ať $M \subset P$ množina
$\overline{M}= \bigcap_{\substack{F \text{ uzavřená}\\ F \supset M}}F$ , je to tedy nejmenší uzavřená nadmnožina množiny $M$ .
$\overline{M} \supset M$
M je uzavřená, právě když $M = \overline{M}$
Uzávěr uzávěru M je totéž, co uzávěr M.
Otázka: Můžeme okamžitě říci, co je $\overline{U_{\varepsilon}(x)}$ ?

Abychom dostali ekvivalentní charakteristiku uzavřených množin, je třeba definovat konvergentní posloupnosti.
Určitě znáš prstencové okolí bodu, (nevíš, jak se píšou psací písmena v texu?) $(prst)_{\varepsilon}(x)=U_{\varepsilon}(x)\setminus \{x\}$ .

Buď $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset P$ posloupnost a $x \in X$ .
Řekneme, že posloupnost $x_n$ konverguje k $x$ (značíme $x_n \to x$ ), právě když $\lim_{n \to \infty} \varrho(x,x_n)=0$ , tj.
$\varrho(x,x_n) \to 0$ .
(Posloupnost nazveme konvergentní, právě když existuje nějaký bod metrického prostoru, k němuž posl. konverguje.)
Definovali jsme to pomocí konvergence posloupnosti v $\mathbb{R}$ .

Spěji k ekvivalentní charakterizaci uzavřených množin, jen ještě chci napsat:
Je z našeho příkladu $A$ uzavřená? Můžeme použít nějak úspěšně použít naši definici?
edit: doplneno, oprava
Edit: Myslím, že už žádné další sáhodlouhé texty nehrozí. Pak už to jde rychle.

Andrejka3 · 30. 03. 2012 20:48

↑ Andrejka3:
Řekneme, že je uzavřená, právě když $\exists G \in P : G \text{ je otevřená a } F=P \setminus G$
se dá říct jednodušeji,
Řekneme, že $F$ je uzavřená, právě když $P \setminus F$ je otevřená.
Nahradím to v textu a to původní skryju.

Aquabellla

↑ Andrejka3:

Ano, děkuji, myslela jsem racionální číslo.

$F \setminus G$ je uzavřená
$G \setminus F$ je je otevřená

$\overline{U_{\varepsilon}(x)}$ - těžko říct, ať přemýšlím, jak přemýšlím, nevím jak tuto množinu uchopit, abych dokázala říct, zda je uzavřená nebo otevřená.

Prstencové okolí znám, bohužel na psací písmena jsem nepřišla (ani google nepomohl).

Podle mě množina A není uzavřená. Nedokážu najít uzávěr množiny (nejmenší uzavřenou nadmnožinu), protože komplement té nadmnožiny by musel být otevřený, což v našem prostoru iracionálních čísel nelze.

PS: Děkuji za doplnění :-)

Andrejka3

↑ Aquabellla:
Obě odpovědi jsou správně,
$F \setminus G = F \cap (P \setminus G)$ , což je průnik dvou uzavřených množin, proto je výsledkem uzavřená množina.
Analogicky odůvodnění toho druhého.
$\overline{U_{\varepsilon}(x)}$ Uzávěr je vždy uzavřená množina, stejně jako je vnitřek otevřená množina :)
Já jen myslela, že by Tě mohlo svést napsat, že $\overline{U_{\varepsilon}(x)}=\{p \in P; \; \varrho(x,p) \leq \varepsilon\}$ , což například není pravda v tomto případě: $\overline{U_1(2)}$ v prostoru $(\mathbb{N}, \varrho_1)$ , ale je pravda pro stejně zapsané okolí v prostoru $(\mathbb{R}, \varrho_1)$ , kde značím $\varrho_1$ metriku $|\cdot -\cdot|$ (abych se s tím pořád neopisovala).

Kdyby $A$ byla uzavřená, pak podle definice, musí být $P \setminus A$ otevřená. Stačí si vyjádřit, co je $P \setminus A$ a otevřenost už vyšetřit umíme. Vlastně, když to čtu podruhé, tak vidím, že něco v tom smyslu říkáš

Nerozumím ale druhé půlce tvého odůvodnění: což v našem prostoru iracionálních čísel nelze. (což neznamená, že to není dobře)
Každopádně bychom mohli dopočítat i uzávěr $A$ , i z těch definic, co jsem psala, ale teď napíšu zbytek věcí.

Andrejka3

Když víme, co je vnitřek a uzávěr, můžeme definovat hranici:
Ať je $(P,\varrho)$ m.p. a $M \subset P$ nějaká množina.
Hranicí množiny M nazveme množinu $\partial M =\overline{M} \setminus M^o$ .
Je zřejmě tedy $\partial M \subset \overline{M}$ .

Charakterizace uzávěru
$x \in \overline{M} \; \iff \; \forall \varepsilon > 0 \: : U_{\epsilon}(x) \cap M \neq \emptyset$ ,
což znamená, že v každém okolí bodu uzávěru M je nějaký bod množiny M, tedy ekvivalentně
$\iff \exists \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset M \: : \; x_n \to x$ . Lze tedy též říci, že uzávěr množiny je množina všech limit všech konvergentních posloupností z $M$ (ty limity už v M být nemusí). Tato charakterizace bývá dobře použitelná v příkladech.
Můžeš ji zkusit aplikovat a spočítat $\overline{A}$ .
Z tohoto okamžitě získáme i hranici.

Pár dalších tvrzení:
$\partial M = \overline{M} \cap \overline{P \setminus M}$ , tedy
$x \in \partial M \; \iff \; \forall \varepsilon>0:\; U_{\varepsilon}(x) \cap M \neq \emptyset \;\wedge \; U_{\varepsilon}(x) \cap (P \setminus M) \neq \emptyset$ , což odpovídá intuici, že bod hranice má libovolně blízko jak body množiny, tak body, které do ní nepatří, takze jako důsledek:
existují posloupnosti v M resp. v jejím doplňku, které obě konvergují k onomu bodu x hranice M.
Příklad: Jak vypadá hranice $[0,1)$ v prostoru $(\mathbb{R},\varrho_1)$ ?

Závěrem shrnutí:
$M \text{ uzavřená } \iff M=\overline{M} \iff \partial M \subset M \iff (x_n \to x \; \wedge \; \{x_n\} \subset M \Rightarrow x \in M)$ .

Aquabellla · 31. 03. 2012 12:46

↑ Andrejka3:

Super, díky, teď už se v těch definicích vyznám.

Když spočítáme uzávěr, tak určit hranici už je lehké. Jen nevím, jak prakticky aplikovat definice uzávěru na příklad.

Andrejka3

$A = (0, 1) \cap \mathbb I$
Naše metrika je stejná, na jakou jsme zvyklí z vyšetřování konvergence reálných posloupností (obvykle analýza v prvním ročníku). Jen jsme na menší množině, $P=[0,1]$ .
Spočítejme $\overline{A}$ pomocí

Lze tedy též říci, že uzávěr množiny $A$ je množina všech limit všech konvergentních posloupností z $A$

Takže vyberme si libovolný bod našeho metrického prostoru, $x \in [0,1]$ .
Je-li $x \in A$ , pak triviálně posloupnost $x_n=x$ konverguje k $x$ a zároveň $\{x_n\}=\{x\} \subset A$ . Ještě jednodušeji, víme z definice: $A \subset \overline{A}$ , takže tento případ jsme nemuseli ani řešit.
Je-li naopak $x \in P \setminus A$ , pak je to nějaké racionální číslo z intervalu $[0,1]$ . Ale v každém okolí tohoto čísla se nachází nějaké iracionální číslo z intervalu $(0,1)$ , tedy z $A$ . Mohu tedy zkonstruovat posloupnost $x_n \to x$ , takovou, že $\{x_n\} \subset A$ . Musí tedy být $x \in \overline{A}$ .
Je proto $\overline{A}=P$ .

nebo pomocí

$x \in \overline{M} \; \iff \; \forall \varepsilon > 0 \: : U_{\epsilon}(x) \cap M \neq \emptyset$

Takže vyberme si libovolný bod našeho metrického prostoru, $x \in [0,1]$ .
Je-li $x \in A$ , pak $\forall \varepsilon>0:\; x \in U_{\varepsilon}(x) \cap A$ , tedy je neprázdná a je tedy $x \in \overline{A}$ . Ještě jednodušeji, víme z definice: $A \subset \overline{A}$ , takže tento případ jsme nemuseli ani řešit.
Je-li naopak $x \in P \setminus A$ , pak je to nějaké racionální číslo z intervalu $[0,1]$ . Ale v každém okolí tohoto čísla se nachází nějaké iracionální číslo z intervalu $(0,1)$ , tedy z $A$ . Musí tedy být $x \in \overline{A}$ .

proto $\overline{A}=P$ .

Nebo pomocí definice:

$\overline{A}= \bigcap_{\substack{F \text{ uzavřená}\\ F \supset A}}F$

Je -li $F \supset A$ a je uzavřená, pak $G=P \setminus F$ je otevřená a $G \subset P \setminus A$ . Odkud
$\bigcap_{\substack{F \text{ uzavřená}\\ F \supset A}}F =\bigcap_{\substack{G \text{ otevřená}\\ G \subset P \setminus A}}(P \setminus G)$ ale
$P \setminus A =[0,1] \cap \mathbb{Q}$ , tedy jediná její otevřená podmnožina je $\emptyset$ . Proto
$\bigcap_{\substack{G \text{ otevřená}\\ G \subset P \setminus A}}(P \setminus G)=P \setminus \emptyset = P$ .
edit: jeste jeden vypocet.

Aquabellla

↑ Andrejka3:

Týjo, moc díky. Asi jsem v tom hledala nějaké složitosti. Teď už si budu vědět rady při aplikaci i u jiných příkladů :-)

Takže když vyšlo $\overline{A}=P$ , znamená to, že množina je hustá v našem metrickém prostoru.

Ještě jednou moc díky, jsi skvělá!

edit: Hranice množiny A: $\partial A =\overline{A} \setminus A^o = P \setminus \emptyset$

Andrejka3

↑ Aquabellla:
Rádo se stalo.
Ano, znamená to, že je $A$ hustá v $P$ .
A derivace množiny $A$ ? $A'$ ?
To je množina všech bodů metrického prostoru takových, že v každém jejich prstencovém okolí existuje bod množiny $A$ .
edit: jojo, $\partial A = P$ .

Aquabellla · 31. 03. 2012 15:51

↑ Andrejka3:

Vezmu libovolně malé prstencové okolí nějakého bodu z množiny A. Vždy v něm dokážu najít nějaké iracionální číslo. Takže $A' = A$ ?

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2012 20:20

Metrický prostor

#2 29. 03. 2012 21:07

Re: Metrický prostor

#3 29. 03. 2012 21:26

Re: Metrický prostor

#4 29. 03. 2012 21:27

Re: Metrický prostor

#5 29. 03. 2012 21:44

Re: Metrický prostor

#6 29. 03. 2012 21:49

Re: Metrický prostor

#7 29. 03. 2012 22:04

Re: Metrický prostor

#8 29. 03. 2012 22:14

Re: Metrický prostor

#9 29. 03. 2012 22:51

Re: Metrický prostor

#10 29. 03. 2012 23:07 — Editoval Andrejka3 (29. 03. 2012 23:09)

Re: Metrický prostor

#11 29. 03. 2012 23:21

Re: Metrický prostor

#12 29. 03. 2012 23:36 — Editoval Andrejka3 (30. 03. 2012 11:33)

Re: Metrický prostor

#13 30. 03. 2012 09:18 — Editoval Rumburak (30. 03. 2012 11:32)

Re: Metrický prostor

Andrejka3 napsal(a):

#14 30. 03. 2012 11:33

Re: Metrický prostor

#15 30. 03. 2012 19:29

Re: Metrický prostor

#16 30. 03. 2012 19:45 — Editoval Andrejka3 (30. 03. 2012 20:51)

Re: Metrický prostor

#17 30. 03. 2012 20:48

Re: Metrický prostor

#18 30. 03. 2012 21:02 — Editoval Aquabellla (30. 03. 2012 21:03)

Re: Metrický prostor

#19 30. 03. 2012 21:19 — Editoval Andrejka3 (30. 03. 2012 21:20)

Re: Metrický prostor

#20 30. 03. 2012 21:32 — Editoval Andrejka3 (30. 03. 2012 21:43)

Re: Metrický prostor

#21 31. 03. 2012 12:46

Re: Metrický prostor

#22 31. 03. 2012 15:12 — Editoval Andrejka3 (31. 03. 2012 15:20)

Re: Metrický prostor

#23 31. 03. 2012 15:40 — Editoval Aquabellla (31. 03. 2012 15:46)

Re: Metrický prostor

#24 31. 03. 2012 15:46 — Editoval Andrejka3 (31. 03. 2012 15:48)

Re: Metrický prostor

#25 31. 03. 2012 15:51

Re: Metrický prostor

Zápatí