Matematické Fórum

panvicka · 30. 03. 2012 18:04

Ahoj, zdárně jsem se prokousala velkou částí seminární práce, nicméně jsem narazila na jeden problém, zjednodušeně:

úkolem bylo řešit rovnici

$y''+9y = 2\cdot cos(2x)$

která mi krásně vyšla (i wolfram povídá) ale pak i druhou

$y''+9y = 2\cdot cos(3x)$

u které jsem se zasekla. Když počítám konstanty A a B do nástřelu partikulárního řešení, všechno se mi odečte. Wolfram tam však celou rovnici ješte vynásobí x a tím pádem se mu to nestane. (když se dá show steps)

příklad ve wolframu

zdůvodňuje to jako:
"was multiplied by x to account for cos(3x) in the complementary solution"

Asi to má společného něco s tím, že při tomto buzení se kmity pořád jenom zvětšují (obrázek řešení v wolframu), ale fakt si nevím rady jak tuto dif. rovnici spočítat (a proč nejde počítat tak jak zatím všechny na které jsem narazila).

Děkuji za pomoc, snad mi je rozumnět.

lukaszh · 30. 03. 2012 22:19

↑ panvicka:

Problém je v tom, že nehomogénne riešenie prvej z rovníc hľadáš v tvare

$y_N(x)=k\cos(2x)$

V druhom prípade je koreňom charakteristického polynómu číslo

$\lambda=\pm3\mathrm{i}$

Homogénne riešenie bude tvaru

$C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)$

Nehomogénne riešenie už v tvare k.cos(3x) hľadať nemôžeme, pretože toto je lineárne závislé s homogénnym riešením, konkrétne pre C_2=0. Avšak homogénne a nehomogénne musia byť lineárne nezávislé. Preto ho treba hľadať v inom tvare. Je to ten, ktorý uvádza wolfram vo svojom postupe. Odhad tvaru nehomogénneho riešenia je však vo všeobecnosti ťažšia úloha. Treba si to nacvičiť.

panvicka · 31. 03. 2012 10:35

Aha, pravda, něco takového jsem zaslechla, ale jak se to přímo při hádání řešení ošetřuje, to jsme se neučili, tak to asi není vhodné psát do seminárky, zkusím to nějak obejít přes VK nebo tak. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2012 18:04

Diferenciální rovnice (kmity)

#2 30. 03. 2012 22:19

Re: Diferenciální rovnice (kmity)

#3 31. 03. 2012 10:35

Re: Diferenciální rovnice (kmity)

Zápatí