Matematické Fórum

Jirda · 30. 03. 2012 21:34

Zdravím,

ze zadání mám nalézt takové přirozené číslo k, že v grupě S16 existuje prvek řádu k, ale v grupě S14 prvek řádu k neexistuje.

(Sn značí grupu permutací (1..n).)

Vím, co je to samozřejmě řád prvku.

Obecně, když hledám řád nějaké permutace, tak tuto permutaci přepíšu na součin nezávislých cyklů a pak najdu nejmenší společný násobek přes počty prvků v těctho cyklech, což pak odpovídá řádu prvku. (Snad jsem to napsal dobře).

Proto mě napadlo napsat takovou permutaci: (15,14,13,....,2,1). Je to prakticky nezávislý cyklus a jeho řádem bude číslo 15.

Chci se zeptat, zda tato úvaha je správna a zda jsem nespadl někde do pasti, protože mi to nepříjde zas tak těžké.

Děkuji za odpověď.

jardofpr

zdravím ↑ Jirda:,

je pravda že rád permutácie ktorú spomínaš je číslo 15, takže táto "úvaha" je správna,
chýba ti však podstatná časť riešenia úlohy,
lebo nikde nepíšeš o tom ako je to s permutáciami rádu 15 v grupe $S_{14}$

keď si všimneš napr.
$\varphi \in S_{14}$
$\varphi=(123)(45678)(9)(10)(11)(12)(13)(14)$

pri prvom pohľade zistíš že rád tejto permutácie je práve 15 takže tadiaľto cesta zrejme nepovedie

jedným zo spôsobov môže byť (aj keď asi nie najkratším) skúsiť využiť najzákladnejšie vlastnosti rádu prvku v grupe, teda myslím konkrétne:

ak $(G,\star)$ je konečná grupa $g \in G$ a $r_{{}_{G}}(g)$ je rád prvku $g$ v grupe $G$ ,
tak $r_{{}_{G}}(g)$ musí deliť počet prvkov množiny $G$

pre náš príklad máme teda informácie
$\forall \varphi \in S_{14}\,\,\,\,\,\, \exists n \in \mathbb{N}\,:\,r(\varphi)\,.\,n\,=\,|S_{14}|=14!=2^{11}.3^{5}.5^{2}.7^{2}.11.13$
$\forall \psi \in S_{16}\,\,\,\,\,\, \exists n \in \mathbb{N}\,:\,r(\psi)\,.\,n\,=\,|S_{16}|=16!=2^{15}.3^{6}.5^{3}.7^{2}.11.13$

očividne $r(\varphi)=2^{\alpha_{2}}.3^{\alpha_{3}}.5^{\alpha_{5}}.7^{\alpha_{7}}.11^{\alpha_{11}}.13^{\alpha_{13}}$ kde $\alpha_{2}\leq 11\,,\,\alpha_{3}\leq 5\,,\,\alpha_{5}\leq 2\,,\,\alpha_{7}\leq 2\,,\,\alpha_{11}\leq 1\,,\,\alpha_{13}\leq 1$ a všetky "alfy" sú nezáporné celé čísla ..
rovnako $r(\psi)=2^{\beta_{2}}.3^{\beta_{3}}.\5^{\beta_{5}}.7^{\beta_{7}}.11^{\beta_{11}}.13^{\beta_{13}}$ kde nie je problém si domyslieť obmedzenia pre "bety"

keďže súčet dĺžok všetkých cyklov (aj tých s dĺžkou 1) vo $\phi$ je rovný $14$ a pre $\psi$ je rovný $16$ (platí pre permutácie zapísanú v tvare súčinu navzájom disjunktných cyklov; každá sa dá v takom tvare vyjadriť)
stačí teraz napríklad nájsť nejakú vhodnú kombináciu mocnín $\beta$ tak aby to v $S_{14}$ stroskotalo práve na týchto súčtoch

ponúka sa trebárs permutácia $\psi$ s dĺžkami cyklov $7,8,1$ $(1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8)(9 \,10 \,11 \,12 \,13 \,14 \,15)(16)$ je jednou takou permutáciou
jej rád bude $nsn\{2^{3},7\}=56$

v $S_{14}$ nebude mať žiaden prvok taký rád, hoci príslušné mocniny sú k dispozícii aj tam,
potrebovali by sme aspoň $15$ prvkov...

teda hľadané $k$ môže byť napríklad $56$

ďalšie $k$ môže byť napr. $k=55=5.11$ , v $S_{16}$ bez problémov taký prvok nájdeme,
v $S_{14}$ nie z toho istého dôvodu ako predtým

(pravdepodobne sa oplatí použiť čo najväčšie prvočíslo, potom sú možnosti v menšej grupe dosť obmedzené)

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2012 21:34

Řád permutace

#2 31. 03. 2012 07:07 — Editoval jardofpr (31. 03. 2012 08:58)

Re: Řád permutace

Zápatí