Matematické Fórum

cyrano52 · 30. 03. 2012 14:25

Dobrý den, mám problém s tímto příkladem:

Jsou dány přímky $a:px + 2qy + (1- r) = 0$ a $b : (1- p)x + (1- 2q)y + r = 0$ . Pro které
hodnoty čísel p, q, r jsou dané přímky
a) rovnoběžné b) splývající c) různoběžné

Co se týče rovnoběžných, tak jsem postupoval takto:

řekl jsem si, že když jsou přímky rovnoběžné, tak jeden vektor je násobkem druhého vektoru. Tudíž:

$\frac{p}{1-p}=\frac{2q}{1-2q}$

Z toho jsem si vyjádřil p:

$p=2q$

Bohužel na víc jsem nepřišel, ani co se týče splývající či různoběžné. Díky za pomoc.

Rumburak

↑ cyrano52:

Splývající přímky se vyznačují tím, že jejich obecné rovnice jsou ekvivalentní, tj. jedna je nenulovým násobkem druhé.
Jde o speciální případ rovnoběžnosti.

Dvě přímky v téže rovině jsou různoběžné, právě když nejsou rovnoběžné.

cyrano52 · 30. 03. 2012 16:12

Rád bych se vrátil ještě k té rovnoběžnosti. Ve výsledcích je toto:

$r\not =1-p$
$p=2q$
$p\not =0$
$p\not =1$

Nevím, jak se přišlo na podmínku pro "r". A u té splývající jsem vůbec nepochopil, co tím chtěl básník říci. Omlouvám se za svoji hloupost, ale nešlo by to trošku líp vysvětlit? Díky :)

Rumburak

↑ cyrano52:

Když bys do rovnic přímek dosadil $p =0$ nebo $p =1$ , zjistil bys, že přímky rovnoběžné být nemohou (z jedné rovnice vypadne x a z druhé ne),
tuto singularitu nutno ošetřit zvlášť, protože ze samotného vztahu $p=2q$ to neplyne. Takovýchto pastí si všímat je věcí zkušenosti .

Z $p=2q$ ovšem plyne $a:px + py + (1- r) = 0$ , $b : (1- p)x + (1- p)y + r = 0$ , případ $r =1-p$ by znamenal
totožnost přímek a, b, což autor úlohy patrně nepovažuje za rovnoběžnost, ale V TOM S NÍM ROZHODNĚ NESOUHLASÍM.

Splývající přímky jsou totožné přímky . Platí, že přímky $a: px + qy + r = 0$ , $a': p'x + q'y + r' = 0$ jsou totožné, právě když
existuje $k \ne 0$ takové, že $p'= kp\,\wedge \,q'= kq \,\wedge \, r'= kr$ .

A příště se na takovéto věci neptej básníků. :-)

cyrano52

Asi jsem si spletl fórum. :)

U těch splývajících je ve výsledku tohle:

$r=1-p$ což chápu, to jsi vysvětloval
$p=2q$ to také chápu, to zaručuje tu rovnoběžnost
$p\not =1$ to by znamenalo, že u jedné přímky vypadne x, u druhé ne

Ale nechápu, proč tady chybí $p\not =0$ , vždyť to by taky znamenalo, že u jedné přímky vypadne x a u druhé ne. Je to jen chyba v řešení, nebo existuje prozaičtější vysvětlení :)

Rumburak

↑ cyrano52:

Kde chybí $p\not =0$ ? V citovaném řešení v ↑ cyrano52: to přece máš a i já v ↑ Rumburak: vysvětluji, že pro rovnoběžky
$p =0$ být nemůže.

EDIT. Jasně, už Tvůj poslední dotaz chápu - od včerejška jsem totiž pozapomněl, že v této úloze splývající přímky nespadají pod kategorii rovnoběžek.
Pochopitelně i u splývajících přímek by měla být podmínka $p\not =0$ .

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2012 14:25

Přímka v analytické geometrii

#2 30. 03. 2012 15:05 — Editoval Rumburak (30. 03. 2012 15:06)

Re: Přímka v analytické geometrii

#3 30. 03. 2012 16:12

Re: Přímka v analytické geometrii

#4 30. 03. 2012 16:55 — Editoval Rumburak (30. 03. 2012 17:03)

Re: Přímka v analytické geometrii

#5 31. 03. 2012 09:51 — Editoval cyrano52 (31. 03. 2012 14:11)

Re: Přímka v analytické geometrii

#6 31. 03. 2012 12:42 — Editoval Rumburak (31. 03. 2012 13:28)

Re: Přímka v analytické geometrii

Zápatí