Matematické Fórum

StupidMan

Potreboval bych poradit s timhle prikladem

pardon oprava.
$\int_{}^{}\frac{1}{sin4x}dx$

pizet · 31. 03. 2012 01:02

↑ StupidMan:

Ahoj.

Vieš zintegrovať funkciu

$\frac{1}{\sin{x}}$ ?

Ak áno, tak ti stačí začať vhodnou substitúciou. Ak nie, tak potom hint číslo dva je:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Takjo · 31. 03. 2012 10:32

Dobrý den,
zkuste tento postup:

$^{}\int_{}^{}\frac{dx}{sin4x}=\int_{}^{}\frac{dx}{sin(2*2x)}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dx}{sin2x*cos2x}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{sin^{2}2x+cos^{2}2x}{sin2x*cos2x}dx=$

$=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{sin^{2}2x}{sin2x*cos2x}dx+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{cos^{2}2x}{sin2x*cos2x}dx=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{sin2x}{cos2x}dx+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{cos2x}{sin2x}dx=$

což po vhodné úpravě vede na integrály, kde v čitateli je derivace jmenovatele...

StupidMan · 31. 03. 2012 13:57

nejak mi to nevychazi, pouzival jsem substituce t=2x a pak substituce cos(t) u toho prvniho a sin(t) u druhyho a vyslo mi $\frac{1}{4}ln|sin2x|+\frac{1}{4}ln|cos2x|+C$

Takjo · 31. 03. 2012 15:07 — Editoval Takjo (31. 03. 2012 15:08)

Dobrý den,
substituce nejsou nutné, jenom pozor na znaménka:

$=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{sin2x}{cos2x}dx+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{cos2x}{sin2x}dx=-\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{-2*sin2x}{cos2x}dx+\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{2*cos2x}{sin2x}dx=$
$\frac{}{}=-\frac{1}{4}\ln {cos2x}+\frac{1}{4}\ln {sin2x}=\frac{1}{4}\ln\frac{{sin2x}}{{cos2x}}+C$

StupidMan

v knizce je to $-\frac{1}{8}ln(sin^{2}4x)+C$ , je to jenom jinak upraveny?

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2012 00:15 — Editoval StupidMan (31. 03. 2012 00:23)

integral

#2 31. 03. 2012 01:02

Re: integral

#3 31. 03. 2012 10:32

Re: integral

#4 31. 03. 2012 13:57

Re: integral

#5 31. 03. 2012 15:07 — Editoval Takjo (31. 03. 2012 15:08)

Re: integral

#6 31. 03. 2012 18:02 — Editoval StupidMan (31. 03. 2012 18:03)

Re: integral

Zápatí