Matematické Fórum

Aquabellla · 31. 03. 2012 18:25

Zdravím, jak mám chápat tento zápis posloupnosti?

Zjistěte limitu posloupnosti $x_n = (\frac{n - 2}{2n^2}, \sqrt[n]{n}, 2)$ v metrickém prostoru $(\mathbb{R}^3, \rho_1)$ .

Předem děkuji :-)

jardofpr

↑ Aquabellla:

ahoj $x_{n}$ bude zrejme vektor $x_{n}:=(x_{n_{1}},x_{n_{2}},x_{n_{3}}) \in \mathbb{R}^{3}$ pre každé $n \in \mathbb{N}$

takže napr. $\{\sqrt[n]{n}\}_{n=1}^{\infty}$ je číselná postupnosť súradníc vektora v smere $x_{n_{2}}$

je to teda postupnosť vektorov v priestore $\mathbb{R}^{3}$ ,
limitou by sa mal rozumieť vektor $a=(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \mathbb{R}^{3}$

taký, že

$\forall \varepsilon>0 \,\,,\,\,\exists n_{0}\in \mathbb{N}\,\,,\,\, \forall n \in \mathbb{N}\,;\,n >n_{0}\,\,: \,\, \rho_{1}(a,x_{n})<\varepsilon$

Aquabellla · 31. 03. 2012 22:16

↑ jardofpr:

Dobře, takže souřadnice vektoru a jsou limity souřadnic posloupnosti?

V tom případě:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n - 2}{2n^2} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
$\lim_{n \to \infty} 2 = 2$
$a = (0, 1, 2)$ .