Matematické Fórum

Zdravím, nechybí v tom zadání něco? V názvu tématu píšeš žr to má být rovnice.

Jo, asi tam má být je rovno "nule".
Jinak všechny tyto rovnice s absolutní hodnotou jde řešit stejně.
Vychází se z jednoduchého předpokladu a to toho, že za "x" jde dosazovat jakákoliv reálná čísla, tedy konkrétně záporná, kladná nebo nula.
To co dělá absolutní hodnota snad víš a to to, že mění záporná čísla, která v dané absolutní hodnotě vyjdou, na kladná. Ještě je potřeba možná taky říct, že zvláštní postavení tu má číslo "0", jelikož nula není ani kladná ani záporná, proto je na tomto celém naprosto nezávislá, tedy jde říct, že -0 a +0 je to stejné.

Další věc, kterou je potřeba uvést, která se při řešení těchto rovnice používá je určitý předpoklad, ten předpoklad je "spojitost funkce", spojitost znamená, že funkce jde nakreslit na grafu x,y nepřerušovanou čarou a taková funkce, která jde nakreslit nepřerušovanou čarou má jednu vlastnost a to tu, že ktomu, aby se hodnota "y" změnila z kladného čísla v záporné, musí nutně projít přes "0", to si můžeš klidně zkusit nakreslit, že pokud funkci nakreslíš jednou nepřerušovanou čarou, a přejdeš na "y" z + do - nebo naopak, tak není možné, aby jsi nepřešla přes "0".
Už v tuto chvíli může nastat několik variant, pokud zjistíš, kde je funkce na "y" rovna "0", tak je možné, že funkce byla v záporných hodnotách -5, -4,-3,-2,-1 a pak se dotkla nuly čili 0, ale poté nepokračovala do kladných hodnot nýbrž opět zase spada do záporných hodnot, čili nikoliv nutně tam, kde se dotkne "0"ly se následně musí změnit znaménko. Také pokud je znám bod nespojitosti funkce(tedy funkce tam spojitá není), tak v tom bodě mohla funkce přeskočit z - do +, anižby prošla 0lou. Rád bych to tu nakreslil, ale nevím jak.

Čili je známo jak se absolutní hodnota v rovnici zachová(mění - na +), například pro tu absolutní hodnotu ve jmenovateli...

|x-5|
To jde taky napsat jako y=x-5, tedy "x" dosazuji a ptám se co vyjde v závorce, tedy y=závorka
pokud budu dosazovat čísla od -nekonečna po +nekonečno za "x" tak pouze tehdy, když v té "celé" závorce vyjde záporné číslo, tak ta absolutní hodnota převrátí znaménko z - na +.
Jak jsem napsal výš, tak stačí zjistit, kde vyjde závorka "0" (tady je to oto jednodušší, že jde o rovnici přímky, takže je i jasné, že právě nula odděluje kladná a záporná čísla).
x-5=0 => x=5; tedy pokud za "x" dosadím 5, tak závorka vyjde nula, pokud logicky budu za "x" dosazovat čísla menší než "5" tak závorka vyjde menší než nula, tedy bude záporná, pokud dosadím čísla za "x" větší než "5" tak závorka vyjde kladná. Pro ty co stím mají problémy se dá i tu použít metoda, že se to rozdělí na dva intervaly, kde může funkce pro dané "x" měnit znaménko. První interval je D1=(-nekonečno;5) a D2= <5;nekonečno) (znaménko může změnit jen v okolí oné 5tky, protože právě v x=5 prošla funkce 0lou) a pak si v každém intervalu dosadíš nějakého "reprezentanta" za "x", třeba u prvního intervalu dosadíš za "x" číslo 4 a zjistíš že závorka je záporná. Pak dosadíš třeba "6" a zjistíš, že závorka je kladná.

Čili vím že na D1=(-nekonečno;5) je uvnitř absolutní hodnoty |x-5|  záporné číslo a že na D2=<5;nekonečno) je uvnitř číslo kladné.
Tedy pokud bych měl jednoduchou rovnici |x-5|=0 tak bych ji řešil zvlášt ve dvou intervalech.
Jeden interval je D2=<5;nekonečno) a zde mi absolutní hodnota nic nezmění, tedy můžu napsat
(x-5)=0 najít příslušné "x" ale pozor, to "x" co vyjde musí patřit do intervalu D2, jinak by jsi našla další řešení, která splňují sice (x-5)=0 ale už nemusí splňovat |x-5|=0 (čili udělá se průnik nalezeným řešením s intervalem D2).

Potom by jsi zase řešila druhý interval D1=(-nekonečno;5), kde víš, že ti absolutní hodnota mění znaménko. Pokud něco vynásobíš -1, tak ti to taky samozřejmě změní znaménko, nebo zkrátka pokud jen něco dáš do závorky a předtu závorku dáš (-) tak se také změní znaménko.
Čili |x-5|=0 jde přepsat jako -(x-5)=0, opět řešíš "x" a výsledné "x" musí patřít do intervalu D1(průnik).
Tím jsi našla dvě řešení, obě platí, takže uděláš sjednocení obou řešení jak toho z intervalu D1 tak toho z intervalu D2.

__________________________________________________________________________

Jenomže ta tvá rovnice je trochu složitější a je tam ještě další absolutní hodnota. Respektive jsou zde dvě absolutní hodnoty a do obou dosazuješ stejné "x". Tedy:

|x^2+4x| a |x-5|. Dělá se to opět stejně. Tedy potřebuješ znát všechny intervaly, kde dané závorky mění (-) v (+). Proto je potřeba zjistit, kde vyjdou dané závorky "0" popř. body nespojitosti. Body nespojitosti tu žádné nejsou.

Takže závorka |x-5| jak už se napsalo může změnit znaménko v okolí bodu "0" to je x-5=0 tedy x=5.
x^2+4x=0 => x1=0 a x2=-4. Tedy mám nějaké nulové body -4, 0, 5 a pouze nalevo či napravo od těchto nulových bodů může dojít ke změně znaménka uvnitř závorek. Zároveň dosazují do všech závorek stejné "x" a to současně.
Další postup už nebudu příliš vysvětlovat, určitě by se to teď dalo řešit i jinak, ale postupuje se tak, že se najdou intervaly, ve kterých se nemění dané znaménko u každé ze závorek s absolutní hodnotou. Znaménko se může měnit jen v intervalech kde x=-4 nebo "0" nebo 5 u jednotlivých absolutních hodnot.

Tedy máme 4 intervaly:
                         (-nekonečno;-4)      <-4;0)      <0;5)      <5;nekonečno)
|x^2+4x|                   +                      -               +                 +
|x-5|                          -                       -               -                  +


Z tohoto je vidět, že jsou 3 různé varianty. Varianta, že v obou závorkách při dosazování od -nekonečna po +nekonečno bude v první i druhé "+", pak varianta, že v obou bude "-" a pak poslední varianta, že v první bude "+" a v druhé bude "-" (maximálně může být zde až 2^počet_závorek=4 varianty)

Tedy 1. varianta (- -) => interval <-4;0)
        2. varainta (++) => interval <5;nekonečno)
        3. varianta (+-) => interval (-nekonečno;-4) sjednoceno <0;5)

1 varianta (--)

2 varianta (++)

3 varainta (+-)


Řešíš všechny tři rovnice, u všech musí být řešení průnik s daným intervalem, konečné řešení je sjednocení všech výsledků z varianty 1, 2, 3
__________________________________________________________________________

Příště si prosimtě na takové věci raději sežeň doučování, tedy na foru je tohle prakticky nemožné vysvětlit, pokud to nechceš umět jen mechanicky počítat :)

Nejspíš to tak bylo myšleno. Přehlídl jsem se, to co jsem napsal určitě nikomu neuškodí.
Nicméně k tobě Jeleno... :)

1) přízpěvek jsem začal psát ještě než tu byl přízpěvek od zdenek1
2) tvůj přízpěvek nepatří ktomuto tématu, měla by jsi ho skrýt (pravidla platí pro všechny stejně, nejsi moje nadřízená uvědom si to už konečně, já sem přizpívám a nejsem nucen řídit se tvými pravidly a tím co si ty myslíš, já se budu řídit pouze pravidly tohoto fóra, to jsou jediná pravidla, kterýma se já mám řídit a zároveň jsou to jediná pravidla, na která tady máš ty dohlížet)
3) tvůj přízpěvek obsahuje řadu nepřesností :D, zdenek netvrdil, že u nerovnic jde vynásobit výraz jmenovatelem, nýbrž, že to jde provést pouze u této nerovnice, jelikož x^2 je vždy kladné a |x-5| je také vždy kladné, čili pokud budu násobit nerovnici "mnohočlenem s "x"", kterým(x) je jakékoliv číslo od -nekonečno po +nekonečno, pak neustále vynásobím nerovnici kladným číslem, a tedy zobáčky nerovnice se nezmění, tedy tato operace je na celém intervalu bezezměny nerovnice možná.

To není pohádka, pohádka musí mít šťastný konec :)

Každopádně děkuju za pomoc - čtvrtletka dopadla za 1 :)
(abyste se neděsili, tohle byl příklad, kterým jsem se připravovala, ne zadáni písemné práce :) )