Matematické Fórum

Cipisek · 18. 10. 2008 10:55

Zdravím potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:

Dva moly ideálního plynu teploty 300K byly nejprve izochoricky ochlazeny, přičemž se tlak plynu změnil na polovinu. Potom plyn izobaricky expandoval, až dosáhl původní teploty. Určete celkové množství tepla, pohlceného plynem při obou procesech?

Výsledená rovnice by měla být Q=(1/2) . n . R. T1

pozn. p . V = n . R . T(ideální plyn) Q= n . (3/2) . R . (T-T0) (izochor.)
Q= n . (3/2) . R . (T- T0) + p . (V- V0) (izobar)

Zkoušel jsem to dát dohromady z rovnic pro ideální plyn a izobarický a izochorický děj...ale
nezdařilo se:(....diky

rughar · 18. 10. 2008 13:55 — Editoval rughar (18. 10. 2008 13:58)

Teplota plynu byla stejná na začátku i na konci. Tím pádem má plyn shodnou celkovou tepelnou energii (Q). Výsledná změna tepelné energie je tedy Q = 0.
Něco jiného je celková energie plynu. Energie má totiž dvě složky. Tepelnou a vnitřní. Vnitřní energie se změnila, nebo? při izobarické expanzi se konala práce, kterou lze popsat jako

$\Delta U = p \Delta V$

Na začátku izobarické expanze byl objem roven V0 (původní objem) a tlak byl po celou dobu nemění a to 1/2 * p0 (p0 = počáteční tlak). Lze tedy psát

$\Delta U = \frac{1}{2}p_0 \Delta V = \frac{1}{2}p_0 V_0$

Nebo? změna objemu je rovna původnímu objemu (objem se zdvojnásobil). Ze stavové rovnice

$p_0 V_0 = n R T_0$ plyne, že

$\Delta U = \frac{1}{2}n R T_0$

, kde T0 je původní teplota 300K. To je tedy výsledná energie, o kteru jsme plyn zahřáli o on nám to vrátil v podobě vykonané práce.

Pavel Brožek

↑ rughar:

Co myslíš "celkovou tepelnou energií Q"? Teplota plynu je stejná, takže má na počátku a na konci stejnou vnitřní energii U. Změna vnitřní energie je nulová $\Delta U=0$ . Pak už mi není vůbec jasné, co myslíš "celkovou energií plynu, která má dvě složky - tepelnou a vnitřní".

Tvůj další postup výpočtu dokážu pochopit, pokud si nahradím tvé $\Delta U$ za práci $W$ . Protože se vnitřní energie nezměnila, tak všechno teplo Q, které systému dodáme se přemění na práci, kterou jsi spočetl, tvůj výsledek je tedy s touto záměnou pochopitelný.

Uvedu i celé řešení, jak by se to dalo také dělat bez práce W:

Děj označím pomocí stavů 1 -> 2 -> 3, stavové veličiny pak příslušnými indexy. Pro dodaná tepla platí

$Q_{1\to2}=C_Vn(T_2-T_1)\nl Q_{2\to3}=C_pn(T_1-T_2)$

Celkové dodané teplo je tedy (s využitím Mayerova vztahu)

$Q=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}=C_Vn(T_2-T_1)+C_pn(T_1-T_2)=n(T_1-T_2)(C_p-C_V)=nR(T_1-T_2)$

Porovnáme stavovou rovnici ideálního plynu ve stavech 1 a 2, dostaneme tak

$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$

a tedy

$T_1-T_2=T_1-\frac{p_2T_1}{p_1}=T_1-\frac{p_1T_1}{2p_1}=\frac12 T_1$

$Q=nR(T_1-T_2)=nR(\frac12 T_1)=\frac12nRT_1$

rughar · 18. 10. 2008 17:46

Má chyba v konvenci. Omlouvám se. To co jsem označil jeko Q tak je ve skutečnosti U. A tedy jelikož vím, že

$\Delta U = Q + W$

A zároveň změna vnitřní energie U zůstává neměnná. Pak platí, že dodané teplo Q je rovno práci, kterou plyn vykonal -W. Tedy

$Q = -W = \frac{1}{2}p_0 V_0 = \frac{1}{2}nRT$

Takto měl vypadat můj postup, který vedl přes práci. Omlouvám se za vyjadřování (nemělo by se mi to stávat, když mám termodynamiku právě zapsanou jako předmět :-X)

Cipisek · 18. 10. 2008 23:09

Diky za velmi vysvetlujici odpovedi.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2008 10:55

Plyn- teplo

#2 18. 10. 2008 13:55 — Editoval rughar (18. 10. 2008 13:58)

Re: Plyn- teplo

#3 18. 10. 2008 15:36 — Editoval BrozekP (18. 10. 2008 15:40)

Re: Plyn- teplo

#4 18. 10. 2008 17:46

Re: Plyn- teplo

#5 18. 10. 2008 23:09

Re: Plyn- teplo

Zápatí