Matematické Fórum

dugbutabi

Dobrý den. Prosím o pomoc.

$\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sin x}{1-\cos 2x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{1-\cos 2x}{x^{3}}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{1-(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)}{x^{3}}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{2\sin ^{2}x}{x^{3}}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{2}{x}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{x}}=$

Andrejka3

Ano, hezky vyřešeno.
edit: snad jen to posledni neni pravda
1/x jde k minus resp. plus nekonecnu pro prislusne jednostranne limity.

Andrejka3

$\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{2}{x}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0} x=0$ .
Pak už je to vpořádku.

Takjo · 02. 04. 2012 19:50 — Editoval Takjo (02. 04. 2012 19:57)

↑ dugbutabi:
Dobrý večer,
myslím, že je v tom malá svízel, a to:
$\lim_{x\to0}\frac{2}{x}$ neexistuje, protože se nerovnají obě jednostranné limity.

Nicméně vidím, že Andrejka z toho skvěle vybruslila...

dugbutabi · 02. 04. 2012 21:02

Může to být takto? děkuji :)

$\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sin x}{1-\cos 2x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{1-\cos 2x}{x^{3}}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{1-(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)}{x^{3}}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{2\sin ^{2}x}{x^{3}}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{2}{x}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}(\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{x}}x)=$
$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1\cdot 1}\cdot 0=0$

TerezaK · 02. 04. 2012 21:23

↑ dugbutabi:

$1=sin^{2}x+cos^{2}x$

$cos2x=cos^{2}x-sin^{2}$

$\lim_{x\to0}\frac{x^{2}sin(x)}{sin^{2}x+cos^{2}x-(cos^{2}x-sin^{2}x)}$

$\lim_{x\to0}\frac{x^{2}sin(x)}{2sin^{2}x}$

$\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{2sin(x)}$

$\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{x}{\frac{sin(x)}{x}}$

$\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{x}{1}$

$\frac{1}{2}\lim_{x\to0}x=\frac{1}{2}*0=0$