Matematické Fórum

TerezaK · 02. 04. 2012 20:27

Ahoj, moc prosím o radu a kroky s limitou

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3*(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}-2}$

Moc děkuji

Tereza

TerezaK · 02. 04. 2012 21:01

je možné použít L´Hospitalovo pravidlo?

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^{2}+3y^{2}} {{(x^{2}+y^{2}+4)^{\frac{1}{2}}}-2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{6x+6y} {{\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+4)^{-\frac{1}{2}}} *(2x+2y)}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3*(2x+2y)} {{\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+4)^{-\frac{1}{2}}} *(2x+2y)}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3} {{\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+4)^{-\frac{1}{2}}} }$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3*2} {{(x^{2}+y^{2}+4)^{-\frac{1}{2}}} }$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{6} {{(0+0+4)^{-\frac{1}{2}}} }$

$=12$

Je to správně?
Díky

Aquabellla · 02. 04. 2012 21:35

↑ TerezaK:

Ano, máš to správně.

halogan · 02. 04. 2012 21:46

Ale možná zbytečně složitě. Pokud to rozšíříš tak, aby ve jmenovateli vzniklo a^2 - b^2, dojdeš dodefinováním k výsledku rychleji, intuitivněji a bez věty.

Andrejka3

Já se teda neučila o takovém pravidlu pro fce více proměnných.
Dovolím si navrhnout postup:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3*(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}-2}$
Použijme pro výpočet euklidovské metriky $\varrho_2(x,y)=\sqrt{\left((x)_1-(y)_1\right)^2+\left((x)_2-(y)_2\right)^2}$ .
Pokud limita existuje, musí se rovnat limitě po nějaké cestě (jednodimenzionální limita, např. y=0) Dostaneme tak kandidáta. My ho ale nepotřebujeme, protože to lze spočítat použitím metriky, z definice:
Pak můžeme přepsat limitu na $(x,y)=z \in \mathbb{R}^2$
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3*(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}-2}=\lim_{z\to(0,0)}\frac{3\left(\varrho_2(z,0)\right)^2}{\sqrt{4+\left(\varrho_2(z,0)\right)^2}-2}=$
$=\lim_{z\to(0,0)}\frac{3\left(\varrho_2(z,0)\right)^2}{\sqrt{4+\left(\varrho_2(z,0)\right)^2}-2}\frac{\sqrt{4+\left(\varrho_2(z,0)\right)^2}+2}{\sqrt{4+\left(\varrho_2(z,0)\right)^2}+2}=$
$=\lim_{z\to(0,0)}\frac{3\color{red}\left(\varrho_2(z,0)\right)^2\color{black}}{\color{red}\left(\varrho_2(z,0)\right)^2\color{black}}(\sqrt{4+\color{blue}\left(\varrho_2(z,0)\right)^2\color{black}}+2)=12$
Protože $\lim_{z\to(0,0)}$ znamená $\varrho_2(z,0) \to 0^+$ .
Červené věci se vykrátí, modrá jde k nule.
Je to srozumitelné?
Může se použít i jiných metrik, protože každá metrika indukovaná normou na konečnědienzionálním prostoru je ekvivalentní Odkaz. Tady se ale tvarem podbízela ta dvojková. Mimochodem, je to velmi důležitá a hezká věta.
edit: To je, rozepsané, možná zbytečně, co navrhl kolega ↑ halogan:. Nicméně tam jde vidět nějaká myšlenka s okolími (třeba pomůže u složitějších příkladů)
Upravím ještě závorky.

Andrejka3 · 02. 04. 2012 22:19

Vlastně si myslím, že použití l'Hospitala je vlastně jen spočítání jednodimenzionální limity po cestě
x=y pro x jde k nule. Což je málo, protože u fcí více proměnných je limita definovaná pomocí celého prstencového okolí. Byla bych ráda, kdyby na to někdo reagoval a souhlasil se mnou nebo nesouhlasil.

TerezaK · 02. 04. 2012 22:20

↑ Andrejka3:

ani já jsem se neučila, jen jsem už fakt nevěděla jak na to...ale že nám vyšel stejný výsledek :-)

sice nevím, jestli budu umět použít tuhle větu, ale moc Ti děkuju Andrejko

Andrejka3 · 02. 04. 2012 22:23

No tak ten postup se hodit bude, tato limita je ještě dost jednoduchá. Často se ale u podobných příkladů musí provést spoustu odhadů a tam se třeba hodí i jiné normy, jako maximová atd. Předpokládám, že než jste začali dělat limity více proměnných, probrali jste něco o metrických prostorech.

Andrejka3

Ještě jedna poznámka. Tím, že jsem přepsala tu limitu tak, že se tam explicitně vyskytuje vzdálenost bodu (který jde do počátku) od počátku, převedla jsem to na limitu reálné fce jedné reálné proměnné.

edit: jak poradil kolega ↑ halogan:

halogan · 03. 04. 2012 00:46

↑ Andrejka3:

Díky za rozbor, vypadá to pěkně.

Otázka — pokud máme funkci spojitou na $\mathbb{R}^2 - [0,0]$ , což námi zkoumaná funkce je, tak se bychom se mohli soustředit na libovolný směr k [0,0] při počítání této limity, ne? Snažím se přijít na nějaký protipříklad, něco podivně spojitého jako sin(1/x) ale v prostoru nebo tak něco. Je mi jasné, že důkaz tohodle tvrzení by byl asi delší než spočítání pomocí rozšíření, ale jen tak mě to zaujalo.

Limity funkcí více proměnných jsem ve škole neměl, takže nějakou teorii za tím bohužel neznám.

Andrejka3

↑ halogan:
Taky by mě to zajímalo. Možná budu mít zítra čas si to rozmyslet.
edit
Přinejmenším se můžu pokusit o spor - existují dvě různé limity takové fce a je spojitá až na ten bod. Je to sice speciální případ, ale aspoň myšlenka na prozkoumání.

jardofpr

ahojte,

protipríkladom by mohla byť funkcia
$f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$

ako podiel spojitých funkcií je spojitá na svojom definičnom obore $D(f)=\mathbb{R}^{2}-\{[0,0]\}$

pri voľbe cesty po priamke $y=kx$ pre $k \neq 0$ je

$\lim_{[x,kx] \to [0,0]} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{x \to 0}\frac{kx^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\frac{k}{1+k^{2}}$

limita je závislá od voľby smernice $k$ a pre rôzne smery má rôzne hodnoty ..
teda nemôže existovať
obmedziť sa na nejakú cestu dá len vtedy ak už vopred vieme že limita existuje v danom bode

graf

Andrejka3

Anebo něco s rotační symetrií.
Vlastně jsi mi napověděl:
$\sin\frac{1}{x^2+y^2}$
Možná by stálo za to trochu rozepsat, co se myslí těmi limitami fcí více proměnných:
Mějme $f:(P,\varrho) \rightarrow (Q,\sigma)$ zobratení mezi metrickými prostory.
Řekneme, že f má v $a \in P$ limitu $b \in Q$ , právě když
$\forall \varepsilon >0 \; \exists \delta >0 :\; f(U_\delta(a) \setminus \{a\}) \subset U_{\varepsilon}(b)$ .
V našem příkladu je $(Q,\sigma)=(\mathbb{R},|\cdot - \cdot|)$ , ale jak věta o ekvivalenci norem říká, je jedno v jakých normách to spočítáme, vždy to vyjde stejně. Problém bych měla hezky definovat nevlastní limitu, ale dalo by se.
Existuje taky zajímavá ekvivalentní definice spojitosti zobrazení mezi metrickými prostory. A též Heineho definice spojitosti. Kdyby někdo chtěl hledat a zajímalo by ho to.

jardofpr · 03. 04. 2012 01:27

↑ Andrejka3:

trebárs, aj keď tvoja funkcia je odlišná trochu v tom, že tam neexistuje limita po žiadnej ceste

Andrejka3

↑ jardofpr:
No ano, po žádné přímce.
Díky za hezký protipříklad.
I takové 'šílené' spojité fce žijí mezi námi. Snad se s tím vyrovnám a usnu dnes. :)

jardofpr · 03. 04. 2012 01:40

↑ Andrejka3:

:)

zaujímavé je že ani v prípade, že by tie limity po ľubovoľnej priamke vyšli vždy rovnako,
nie je existencia limity v tom bode zaručená

no hej, aj mňa to zistenie celkom prekvapilo kedysi :)

Andrejka3

↑ jardofpr:
Takovou znáš? Spojitou až na ten bod? Sem s ní :D
Já si jen pamatuju nějakou, kde ty limity po přímkách vycházely stejně, ale když se to vzalo parabolou, tak to limitu mělo jinou nebo tak nějak (spojitá nebyla).
$f(x,y)=$ $1 \text{ pokud } x^2=y$
$0 \text{ jinak}$
edit:oprava

jardofpr · 03. 04. 2012 07:00

↑ Andrejka3:

presne na tom istom princípe priamka/parabola ako si spomenula by malo toto fungovať

$f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}$

Andrejka3 · 03. 04. 2012 09:43

Ano, tahle vyjde po přímkách nekonečno až na dvě přímky. Po parabole klidně něco mezi tím.
Ale pořád ještě nemáme fci, která je spojitá na prstencovém okolí nuly, existují všechny limity po přímkách a rovnají se (a jsou vlastní) ale limita fce neexistuje.

jardofpr

↑ Andrejka3:

dobré ráno :)

teda mne sa zdá že je to po každej priamke $0$ a po parabole vždy iné číslo

$\lim_{[x,kx]\to [0,0]} \frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}=\lim_{x \to 0}\frac{kx^{3}}{x^{4}+k^{2}x^{2}}=\lim_{x \to 0}\frac{kx}{x^{2}+k^{2}} = 0$

$\lim_{[x,qx^{2}]\to [0,0]} \frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}=\lim_{x \to 0}\frac{x^{2}.qx^{2}}{x^{4}+q^{2}x^{4}} =\frac{q}{1+q^{2}}$

alebo to počítam zle? (popripade chyba niekde?)
ako si počítala ty?

Andrejka3 · 03. 04. 2012 14:57

↑ jardofpr:
Je to v pořádku :) promiň. A ještě k tomu hezky vypadající předpis.

jardofpr

:)

ešte k tomu príkladu,
naozaj to je l'hospital po ceste x=y v tomto prípade,
ale to použitie si podľa mňa žiada aspoň zavedenie skalárnej funkcie dvoch premenných
a zdôvodnenie prípustnosti výpočtu použitím nejakej vety o limite zloženej funkcie,
teda kým (alebo ak?) nemáme k dispozícii nejakú definíciu l'hospitalovho pravidla pre funkcie
viacerých premenných

k tej nevlastnej limite v metrickom priestore ma napadá povedzme (požičiam si značenie čo máš o niečo vyššie)

$f$ má v bode $a \in P$ nevlastnú limitu $\infty$ , ak pre ľubovoľnú postupnosť $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subset P$ takú, že $\lim_{n \to \infty} \varrho(x_{n},a)=0$ platí, že

$\forall K >0\,\,\, \exists N_{K} \in \mathbb{N}\,\,:\,\,\forall n\in\mathbb{N}\,,\,n> N_{K}\,:\,\sigma(f(x_{n}),\bar{0})>K$

aj keď asi budeme potrebovať jedno jediné nekonečno pre všetky smery potom

TerezaK · 03. 04. 2012 18:08

↑ Andrejka3:

Ještě mě napadlo zkusit to vyřešit pomocí substituce :

$t^{2}=x^{2}+y^{2}+4 ; t^{2}=4 ; t=2$

$\lim_{x,y\to0,0}\frac{3(x^{2}+y^{2}+4-4)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}-2}$

$\lim_{t\to2}\frac{3(t^{2}-4)}{\sqrt{t^{2}}-2}=\lim_{t\to2}\frac{3(t-2)(t+2)}{t-2}=\lim_{t\to2}\frac{3(t+2)}{1}=3(2+2)=12$

Co vy na to?

jardofpr · 03. 04. 2012 18:40

↑ TerezaK:

pekné riešenie :)
vyzerá to byť v poriadku

TerezaK · 03. 04. 2012 18:47

↑ jardofpr:

óó, děkuji, děkuji :-)
se mi něco náhodou povedlo...nebo nenáhodou?? :-)

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2012 20:27

Limita x,y

#2 02. 04. 2012 21:01

Re: Limita x,y

#3 02. 04. 2012 21:35

Re: Limita x,y

#4 02. 04. 2012 21:46

Re: Limita x,y

#5 02. 04. 2012 21:55 — Editoval Andrejka3 (03. 04. 2012 00:17)

Re: Limita x,y

#6 02. 04. 2012 22:19

Re: Limita x,y

#7 02. 04. 2012 22:20

Re: Limita x,y

#8 02. 04. 2012 22:23

Re: Limita x,y

#9 02. 04. 2012 23:10 — Editoval Andrejka3 (03. 04. 2012 00:10)

Re: Limita x,y

#10 03. 04. 2012 00:46

Re: Limita x,y

#11 03. 04. 2012 00:53 — Editoval Andrejka3 (03. 04. 2012 00:56)

Re: Limita x,y

#12 03. 04. 2012 01:10 — Editoval jardofpr (03. 04. 2012 01:13)

Re: Limita x,y

#13 03. 04. 2012 01:20 — Editoval Andrejka3 (03. 04. 2012 01:32)

Re: Limita x,y

#14 03. 04. 2012 01:27

Re: Limita x,y

#15 03. 04. 2012 01:31 — Editoval Andrejka3 (03. 04. 2012 01:36)

Re: Limita x,y

#16 03. 04. 2012 01:40

Re: Limita x,y

#17 03. 04. 2012 06:32 — Editoval Andrejka3 (03. 04. 2012 07:04)

Re: Limita x,y

#18 03. 04. 2012 07:00

Re: Limita x,y

#19 03. 04. 2012 09:43

Re: Limita x,y

#20 03. 04. 2012 12:05 — Editoval jardofpr (27. 04. 2013 14:04)

Re: Limita x,y

#21 03. 04. 2012 14:57

Re: Limita x,y

#22 03. 04. 2012 17:10 — Editoval jardofpr (03. 04. 2012 17:31)

Re: Limita x,y

#23 03. 04. 2012 18:08

Re: Limita x,y

#24 03. 04. 2012 18:40

Re: Limita x,y

#25 03. 04. 2012 18:47

Re: Limita x,y

Zápatí