Matematické Fórum

Majki · 03. 04. 2012 20:07 — Editoval Majki (03. 04. 2012 20:08)

ahoj
prosímvás
v jednom příkladu jsem si to upravil na
$lim_{x\to 0} \frac{ln(\frac{arcsin (x)}{x})}{\frac{arcsin (x)}{x}-1}$
vnější fce je $\frac{ln (y)}{y-1}$ ta není v 0 spojitá, tedy VOLSF S nemohu užít
vnitřní fce je $\frac{arcsin (x)}{x}$ a u ní nevím jak dokázat podmínku VOLSF P, tedy že na nějakém okolí bodu 0 má tato fce hodnoty různé od 1 (limity).
možná je to pro vás snadné ale já na to nemůžu přijít a tak píšu sem.

Andrejka3 · 03. 04. 2012 21:40

↑ Majki:
Ahoj.
Známe $lim_{y\to 1}\frac{\ln y}{y-1}$ .
Máme $y(x)=\frac{\arcsin x}{x}$ .
Je $\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$ . (Víš, jak dokázat?)
proto pro každé $\varepsilon >0 \; \exists \delta >0 : \; y(U_{\delta}(0) \setminus \{0\}) \subset U_{\varepsilon}(1)$ . Chceme tam mít ale prstencové (či redukované) epsilon okolí.
$\sin x$ je ryze konkávní na nějakém intervalu $(0,\alpha)$ . Inverzní fce je naopak ryze konvexní na $(0,\sin \alpha)$ . $x$ je tečnou k $\arcsin x$ v nule a $\arcsin x$ je lichá. Proto v $(-\sin \alpha, \sin \alpha )\setminus \{0\}$ je $\arcsin x \neq x$ .
To je to, co bylo třeba.
Zatím mě napadlo jen tohle, ale možná to jde šikovněji.

Andrejka3

$x-\sin x$ zkoumejme na $[0,\pi/2]$ .
derivace:
$1 - \cos x > 0$
$x -\sin x = 0$ v x=0.
$x - \sin x > 0$ v $(0,\pi/2]$ . A je tam rostoucí.
To je snad lepší.

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2012 20:07 — Editoval Majki (03. 04. 2012 20:08)

zdůvodnění volsf

#2 03. 04. 2012 21:40

Re: zdůvodnění volsf

#3 03. 04. 2012 22:22 — Editoval Andrejka3 (03. 04. 2012 22:23)

Re: zdůvodnění volsf

Zápatí