Matematické Fórum

Magicmaster · 03. 04. 2012 16:54

Zdravím. Opakuji si na maturitu a narazil jsem na implicitně zadané funkce a jejich derivace (kvůli tečnám). Mám napsané jakési odvození, ale nejsem z toho moc moudrý, mohli byste mě nějak usměrnit?

Mám implicitně zadanou funkci $f(x,y)=0$ , chci ji zderivovat podle x. Mám tedy
$\frac{df(x,y)}{dx}=0\\ \frac{\partial f(x,y(x))}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\cdot \frac{dy(x)}{dx}=0\\ y'(x)=\frac{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}}$

Nerozumím tomu, jak se z druhého kroku dostanu na třetí, šlo by to nějak objasnit?

A ještě: výraz $\frac{\partial y}{\partial x}$ je stejný jako $\frac{dy}{dx}$ , rozdíl je jen, aby se odlišilo, že se jedná o derivaci implicitní funkce?

Díky

jelena · 03. 04. 2012 23:36

Zdravím,

pokud zapíšeš v 3. řádku $\frac{dy(x)}{dx}=y'(x)$ , potom je to vyjádření z rovnice $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\cdot y'(x)=0$ , ovšem chybí znaménko "minus", oprav si ještě, prosím.

K zápisu výrazu $\frac{\partial y}{\partial x}$ jde o zápis pro parciální derivace. Vy jste takový důkaz brali na SŠ i včetně parciálních derivací? Nebylo by vhodnější označení, jak je použito zde (6. str pdf)? Děkuji.

Pavel Brožek

Zdravím,

↑ Magicmaster:

Na druhém řádku by nemělo být $\frac{\partial f(x,y(x))}{\partial x}=0$ ale $\frac{\d f(x,y(x))}{\d x}=0$ . Přechod na třetí řádek pak je derivování funkce více proměnných, kde se používá „vzoreček“

$\frac{\d f(y_1,y_2,\ldots,y_n)}{\d x}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f(y_1,y_2,\ldots,y_n)}{\partial y_k}\cdot\frac{\d y_k}{\d x}.$

V našem případě $y_1=x$ a $y_2=y(x)$ .

Magicmaster · 15. 04. 2012 14:07

↑ jelena: Jako důkaz jsme si psali těchto pár řádků, tak se snažím pochopit souvislosti. Nicméně parciální derivace jsme nedělali, takže možná zase učitel smíchal různé věci dohromady. Bylo nám řečeno, že symbol $\partial$ je spojen s derivací implicitně zadané funkce. Holt u maturity tyto tři řádky napíšu a budu doufat, že to bude stačit, protože víc ani nikdo ze spolužáků nemá :)

↑ Pavel Brožek: Díky, tento vzorec jsem ještě neviděl, ale napíšu si ho a holt bez důkazu použiju.

jelena · 15. 04. 2012 15:39

↑ Magicmaster:

děkuji za zprávu a za upřesnění, úspěšnou maturitu přeji.

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2012 16:54

Derivace implicitně zadané funkce - odvození

#2 03. 04. 2012 23:36

Re: Derivace implicitně zadané funkce - odvození

#3 03. 04. 2012 23:53 — Editoval Pavel Brožek (03. 04. 2012 23:53)

Re: Derivace implicitně zadané funkce - odvození

#4 15. 04. 2012 14:07

Re: Derivace implicitně zadané funkce - odvození

#5 15. 04. 2012 15:39

Re: Derivace implicitně zadané funkce - odvození

Zápatí