Matematické Fórum

ChiSka · 03. 04. 2012 21:47

Dobry den, chtela bych vas poprosit o pomoc...nutne bych potrebovala znat definicni obor tehle fci:

arcsin(tan(x)/3) ; arcsin(tan(x^2)/3)

mockrat dekuji

Takjo · 03. 04. 2012 22:28

↑ ChiSka:
Dobrý den,
- definiční obor funkce $f_{(x)}=arcsin((tg x) /3) x\in (-\frac{\pi }{2}+k\pi ; \frac{\pi }{2}+k\pi) = \mathbb{R} - \{k\frac{\pi }{2}\}$

jardofpr

zdravím vás oboch

to čo píše ↑ Takjo: nie je pravda

$f(y):=\mathrm{arcsin}(y)$ má definičný obor $D(f)=[-1,1]$

preto musí byť
$-1\leq \frac{\tan{(x)}}{3}\leq 1\quad\quad(1)$

$g(x):=\frac{\tan(x)}{3}$ je $\pi$ -periodická funkcia s definičným oborom

$D(g)=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \Big(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\Big)$ ,

stačí skúmať interval $\Big( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \Big)$ lebo $\forall x \in D(g)\,\,:\,\,g(x)=g(x+\pi)$

z $(1)$ potom

$-3\leq \tan{(x)}\leq 3$ teda $\mathrm{arctan}(-3)\leq x \leq \mathrm{arctan}(3)$

(nerovnosti sa zachovávajú lebo $\mathrm{arctan}(t)$ je funckia rastúca na $\mathbb{R}$ teda aj na $[-3,3] \subset \mathbb{R}$ )

na intervale $\Big( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \Big)$ je množina prípustných $x$ interval $[-\mathrm{arctan}(-3),\mathrm{arctan}(3)]$

s využitím periódy funkcie tangens bude definičný obor funkcie $F:=\mathrm{arcsin}\,\Big(\frac{\tan{(x)}}{3}\Big)$ zjednotenie uzavretých intervalov

$D(F)=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}[\,\,\mathrm{arctan}\,(-3)+k\pi\,,\,\mathrm{arctan}\,(3)+k\pi\,\,]$

definičný obor druhej funkcie sa dá nájsť podobne